Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Ta có: (2a-2b)2 lớn hơn hặc bằng 0
<=> 4a2-8ab+4b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2-a2-8ab+20b2-16b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2+20b2 lớn hơn hoặc bằng a2+8ab+16b
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng (a+4b)2
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng 1 [ Thay (a+4b)2 =1]
3)
\(a=b+1\Leftrightarrow a+1>b+1\Leftrightarrow a>b+1-1\\ \Leftrightarrow a>b\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực \(\left(1^2;2^2\right)\) và \(\left(a^2;4b^2\right)\), ta có:
\(\left(1^2+2^2\right)\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2=1\) (do \(a+4b=1\))
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(a^2+4b^2\right)\ge1\)
Kết luận: ...
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với 2 dãy số x;2y và 1;2
Ta có: \(\left(x^2+4y^2\right)\left(1^2+2^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)
\(<=>5\left(x^2+4y^2\right)\ge1^2=1\)
=> ĐPCM, dấu = xảy ra <=> \(\frac{x}{1}=\frac{2y}{2}<=>x=y\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2)(1+4)\geq (a+4b)^2$
$\Leftrightarrow 5(a^2+4b^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+4b^2\geq \frac{1}{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{1}=\frac{2b}{2}$
$\Leftrightarrow a=b$. Kết hợp với $a+4b=1\Rightarrow a=b=\frac{1}{5}$
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
a/VT=x5+x^4.y+x^3.y^2+x^2.y^4+x.y^4-x^4.y-x^3.y^2-x^2.y^3-x.y^4-y^5
=x^5-y^5=VP
=>dpcm
\(A=4x^2+4x+11\)
\(=\left(4x^2+4x+1\right)+10\)
\(=\left(2x+1\right)^2+10\ge10\)
Min A = 10 khi: 2x + 1 = 0
<=> x = -1/2
Tớ ko biết làm, xin lỗi nhé!