Question

[Ha My]

\(\overrightarrow{AB}=\left(\frac{9}{4};-3\right)\Rightarrow AB=\frac{15}{4}\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4;-3\right)\Rightarrow AC=5\)

Gọi AD là đường phân giác trong góc A với D thuộc BC. Gọi toạ độ của điểm D là D(x;y)

\(\overrightarrow{DC}=\left(2-x;-y\right);\overrightarrow{DB}=\left(\frac{1}{4}-x;-y\right)\)

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

\(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=-\frac{AB}{AC}\)

\(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=-\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{DB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{4}-x=-\frac{3}{4}\left(2-x\right)\\-y=-\frac{3}{4}\left(-y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(1;0\right)\)

Gọi BJ là đường phân giác trong góc B với J thược AD. Gọi toạ độ điểm J là J(x;y).

\(\overrightarrow{BA}=\left(-\frac{9}{4};3\right)\Rightarrow AB=\frac{15}{4}\)

\(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{3}{4};0\right)\Rightarrow BD=\frac{3}{4}\)

Theo tính chất đường phân giác góc B ta có:

\(\frac{JA}{JD}=\frac{BA}{BD}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{\overrightarrow{JA}}{\overrightarrow{JD}}=-5\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{JA}=-5\overrightarrow{JD}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2-x=-5\left(1-x\right)\\3-y=-5\left(-y\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(J\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

Vì J là giao điểm của hai đường phân giác trong góc A và góc B nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC