Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cố tử thần ♡๖ۣۜŦεαм♡❤Ɠ长♡ღ
Chị ơi dùng bđt BCS , dấu = xảy ra P =1 như thế có gọi là giá trị của P=1 không nhỉ ?
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=-bc-ca\\bc=-ca-ab\\ca=-ab-bc\end{cases}}\)
Thay vào ta được: \(\frac{a^2}{a^2+2bc}=\frac{a^2}{a^2+bc-ca-ab}=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{b^2+2ca}=\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\) ; \(\frac{c^2}{c^2+2ab}=\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(\Rightarrow P=-\left[\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}\right]\)
\(=-\left[\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right]\)
\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ca-ab\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\)
\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=1\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}=\frac{a^2}{a^2-ab-ac+bc}=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{b^2+2ac}=\frac{b^2}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)};\frac{c^2}{c^2+2ac}=\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c^2}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{2b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=0\)
\(M=\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=\dfrac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\)
\(=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3}{xyz}=\dfrac{-z^3-3xy\left(-z\right)+z^3}{xyz}\)
\(=\dfrac{3xyz}{xyz}=3\)
\(ĐK:a,b,c\ne0\)
Ta có: \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-1\right)+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{2ca}-\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\)
Trường hợp 1: \(b+c-a=0\)thì
+) \(\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{2bc}=0\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-1\)
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
\(\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
Điều này chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 2: \(c+a-b=0\) thì
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
+) \(\frac{\left(c+a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 3: \(a+b-c=0\)
+) \(\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
+) \(\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1 (đpcm)
cho mình hỏi tại sao từ
\(\left(b+c-a\right)\cdot\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)
lại có thể suy ra được
\(\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\) vậy ?