Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp án A
Gọi độ dài các sợi dây uốn thành hình vuông và hình tròn lần lượt là x , y ⇒ x + y = 60 và x,y chính là chu vi của các hình trên.
Diện tích hình vuông là S 1 = x 4 2 = x 2 16 ; Diện tích hình tròn là S 2 = π y 2 π 2 = y 2 4 π
Tổng diện tích hai hình
S = S 1 + S 2 = x 2 16 + y 2 4 π ⇒ S . 16 + 4 π = x 2 16 + y 2 4 π 16 + 4 π ≥ x + y 2 = 3600 ⇒ S ≥ 900 4 + π
Đạt được khi
x 16 = y 4 π = x + y 16 + 4 π = 60 16 + 4 π = 15 4 + π ⇒ x = 15.16 4 + π = 33,61
Đáp án D
- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn: S = π R 2 , C = 2 π R .
- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông: S = a 2 , C = 4 a .
Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là 1 − x mét.
Cạnh hình vuông là x 4 nên diện tích hình vuông là x 2 16 .
Bán kính hình tròn là 1 − x 2 π nên diện tích hình tròn là π . 1 − x 2 π 2 = 1 − x 2 4 π .
Xét hàm f x = x 2 16 + 1 − x 2 4 π có f ' x = x 8 + x − 1 2 π = 0 ⇔ x = 4 π + 4 .
Do đó f x đạt GTNN tại x = 4 π + 4 ⇒ 1 − x = 1 − 4 π + 4 = π π + 4 .
Vậy tỉ số đoạn thứ nhất và đoạn thứ hai là π π + 4 : 4 π + 4 = π 4 .
Chọn đáp án C
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x (m) thì độ dài cạnh tam giác đều là 2x (m).
Chiều dài phần dây được uống thành hình vuông (chính là chu vi hình vuông) là 4x (m); chiều dài phần dây được uốn thành tam giác đều (chính là chu vi hình tam giác đều) là 6x(m) .
Suy ra chiều dài phần dây được uốn thành hình tròn là L - 4 x - 6 x = L - 10 x ( m )
Từ đó ta có x ∈ 0 ; L 10
Gọi r là bán kính của đường tròn thì chu vi đường tròn là
Tổng diện tích của ba hình là
Xét hàm số
trên 0 ; L 10
Ta có
Lập bảng biến thiên ta thấy
Vậy tổng diện tích của ba hình thu được nhỏ nhất khi x = 5 L 2 25 + 1 + 3 π
suy ra độ dài cạnh của tam giác đều là 2 x = 5 L 25 + 1 + 3 π
Đáp án C
Cắt sợi dây 6 mét đã cho thành hai phần có độ dài lần luột là x mét và 6-x mét 0 < x < 6 . Phần thứ nhất có độ dài x mét được uốn thành hình tam giác đều cạnh bằng x 3 mét. Phần thứ hai có độ dài 6-x mét được uốn thành hình vuông cạnh bằng 6 − x 4 mét.
Diện tích phần I là S 1 = x 3 2 . 3 4 = x 2 3 36 m 2 .
Diện tích phần II là S 2 = 6 − x 4 2 m 2 .
Tổng diện tích hai phần là S x = S 1 + S 2 = x 2 3 36 + 6 − x 4 2 m 2 với x ∈ 0 ; 6
Đạo hàm S ' x = x 3 18 − 6 − x 8 ; S ' x = 0 ⇔ x = 54 9 + 4 3 ∈ 0 ; 6 . Lập bảng biến thiên của hàm số S x trên khoảng 0 ; 6 , ta thấy min S x = S 54 9 + 4 3 .
Khi đó cạnh của tam giác đều bằng 18 9 + 4 3 m .
Từ giả thiết suy ra x + y = 10
Diện tích hình chữ nhật là 
Diện tích tam giác là 
Yêu cầu bài toán: 
Suy ra y = 5
Vậy có duy nhất một bộ số (x;y) = (5;5) thỏa mãn
Chọn B.
Đáp án C
Ta có x = k . R là chu vi đường tròn đáy của khối nón ⇒ k . R = 2 π r ⇒ r = k . R 2 π
Độ dài đường sinh của khối nón chính là bán kính R ⇒ l = R = r 2 + h 2 ⇒ h = R 2 − r 2
Thể tích của khối nón là:
V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π . r 2 . R 2 − r 2 ⇔ V 2 = π 2 9 . r 4 . R 2 − r 2 . 1
Theo bất đẳng thức Cosi, ta được r 2 . R 2 − r 2 = 4. r 2 2 . r 2 2 . R 2 − r 2 ≤ 4 R 6 27 2
Từ (1), (2) suy ra:
V = π 2 9 . 4 R 6 27 = 4 π 2 243 R 6 ⇒ V ≤ 2 π 9 3 R 3
Dấu “=” xảy ra khi:
⇔ r 2 2 = R 2 − r 2 ⇔ R 2 = 3 2 r 2 = 3 2 . k 2 R 2 4 π 2 ⇒ k 2 = 8 π 2 3 ⇒ k ≃ 5 , 13
Đáp án C.
Gọi x là chiều dài đoạn thép thứ nhất, 0 < x < 10
⇒ Cạnh hình tứ diện là x 6 (tứ diện là đều)
⇒ Cạnh hình lập phương là 10 - x 12
Diện tích xung quanh của tứ diện là S 1 = 4 . 1 2 . x 6 2 . 60 °
Diện tích xung quanh của lập phương là S 2 = 6 10 - x 12 2
Tổng S 1 + S 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 5 6 2 3 36 + 1 24 = 30 2 3 + 3 = 20 3 - 30
⇒ a = 20 3 - 30 6 ; b = 10 - 20 3 + 30 12 ⇒ a + b = - 5 + 5 3 3