Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bdt cosi:
\(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^4}{b}.\frac{b^4}{c}.\frac{c^4}{a}}=3abc\)
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\c+d\ge2\sqrt{cd}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{abcd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\dfrac{2\sqrt[4]{abcd}}{2}=\sqrt[4]{abcd}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=d\)
ycbt\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9^4a+9^3b+9^2c+9d+e=32078\left(p\right)\\a,b,c,d,e\in N;\le8;a\ne0\end{cases}}\)
VP(p): 9 dư 2 =>e =2
\(\Rightarrow9^3a+9^2b+9c+d=\frac{32078-2}{9}=4564⋮9\Rightarrow d=0\)
\(\Rightarrow9^2a+9b+c=\frac{3564}{9}=396⋮9\Rightarrow c=0\)
\(\Rightarrow9a+b=\frac{396}{9}=44\)chia 9 dư 8 => b=8
=> 9a=36=>a=4
Vậy S =14
áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot1}=\frac{9}{2}>4\)
suy ra điều phải chứng minh
Cách 2:
VT=\(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-a}\)\(\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
mà \(\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\le\frac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\)\(=\frac{2}{3}\)
=>\(VT\ge\frac{3}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}>4\)
\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)
Ta có
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)
\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)
Thay (1) vào (2)
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)
Do \(a>b>c>d\)
\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)
\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)
Và
\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)
\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\)
Ta có
(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)
Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên
Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)
\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd
=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố
mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà
Có và ko
có và ko