Question

[Phác Chí Mẫn]

Một hình lăng trụ với đáy là tam giác vuông có chiều cao 4cm, chu vi đáy là 10cm. Tìm độ dài các cạnh đáy để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Nguyễn Việt Lâm

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(V=Bh=4B\) với B là diện tích đáy

\(\Rightarrow V_{max}\) khi \(B_{max}\)

Gọi chiều dài 2 cạnh góc vuông đáy là x và y (dương)

Ta có \(S=\frac{1}{2}xy\)

Chu vi đáy bằng 10

\(\Rightarrow x+y+\sqrt{x^2+y^2}=10\)

\(\Rightarrow10\ge2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{2}\right)\sqrt{xy}\le10\)

\(\Rightarrow xy\le150-100\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow S\le75-50\sqrt{2}\)

\(S_{max}=75-50\sqrt{2}\) khi \(x=y=10-5\sqrt{2}\)