Question

[Yuto]

Một cái hồ hình ngũ giác đều ABCDE (có năm cạnh bằng nhau và 5 góc ở đỉnh bằng nhau). Một cái thuyền bơi trên hồ. Hỏi thuyền ở vị trí nào trong hồ để tổng các khoảng cách từ nó đến các cạnh của hồ là nhỏ nhất?

                                        A

Answer 1

[Sarah]

Ta có:

Diện tích ngũ giác ABCDE bằng dt(OAE) + dt(OAB) + dt(OBC) + dt(OCD) + dt(ODE)

Hay là: dt(ABCDE) = 1/2 AE.h₁ + 1/2 AB.h₂ + 1/2 BC.h₃ + 1/2 CD.h₄ + 1/2 DE.h₅

Vì hình ngũ giác là đều nên các cạnh bằng nhau. Gọi cạnh của ngũ giác đều là a, ta có:

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.h₁ + 1/2 .a.h₂ + 1/2 .a.h₃ + 1/2 .a.h₄ + 1/2 .a.h₅

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.(h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅)

Suy ra h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅ = 2.dt(ABCDE)/a

Vế phải của đẳng thức trên (bằng 2 lần diện tích ngũ giác chia cho cạnh ngũ giác) là một đại lương không thay đổi khi vị trí O thay đổi.

Vậy tổng các khoảng cách từ thuyền đến các cạnh của hồ không thay đổi khi thuyền bơi trên hồ ngũ giác đều.

Answer 2

[Thám Tử THCS Nguyễn Hiếu]

Ta có:

Diện tích ngũ giác ABCDE bằng dt(OAE) + dt(OAB) + dt(OBC) + dt(OCD) + dt(ODE)

Hay là: dt(ABCDE) = 1/2 AE.h₁ + 1/2 AB.h₂ + 1/2 BC.h₃ + 1/2 CD.h₄ + 1/2 DE.h₅

Vì hình ngũ giác là đều nên các cạnh bằng nhau. Gọi cạnh của ngũ giác đều là a, ta có:

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.h₁ + 1/2 .a.h₂ + 1/2 .a.h₃ + 1/2 .a.h₄ + 1/2 .a.h₅

    dt(ABCDE) = 1/2 .a.(h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅)

Suy ra h₁ + h₂ + h₃ + h₄ + h₅ = 2.dt(ABCDE)/a

Vế phải của đẳng thức trên (bằng 2 lần diện tích ngũ giác chia cho cạnh ngũ giác) là một đại lương không thay đổi khi vị trí O thay đổi.

Vậy tổng các khoảng cách từ thuyền đến các cạnh của hồ không thay đổi khi thuyền bơi trên hồ ngũ giác đều.