Question

[nguyễn nhật khải bình]

Một bà mẹ chiều con nên ngày nào cũng cho con ăn ít nhất một chiếc kẹo. Để hạn
chế, mỗi tuần bà cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo. Chứng minh rằng trong một số ngày
liên tiếp nào đó bà mẹ đã cho con tổng số 13 chiếc kẹo

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng chim bồ câu).

1. Đặt vấn đề:

• Gọi a[i] là số kẹo mà bà mẹ đã cho con ăn tính đến ngày thứ i.
• Vì mỗi ngày bà mẹ cho con ăn ít nhất 1 chiếc kẹo, nên dãy số a[i] là một dãy tăng ngặt.
• Mỗi tuần bà mẹ cho con ăn không quá 10 chiếc kẹo, tức là trong 7 ngày liên tiếp, số kẹo con ăn không vượt quá 10.

2. Xây dựng dãy số:

• Xét dãy số: a[1], a[2], a[3], ..., a[7]
• Và dãy số: a[1] + 13, a[2] + 13, a[3] + 13, ..., a[7] + 13

3. Áp dụng nguyên lý Dirichlet:

• Ta có tổng cộng 14 số trong 2 dãy trên.
• Giả sử rằng không có 2 số nào trong 14 số đó có cùng giá trị.
• Số kẹo tối đa mà bà mẹ có thể cho con ăn trong 7 ngày là 10.
• Vậy giá trị lớn nhất của a[7] là 10.
• Vậy giá trị lớn nhất của a[7]+13 là 23.
• Vậy 14 số trên có giá trị nằm trong khoảng từ 1 tới 23.
• Vậy theo nguyên lý dirichlet thì phải tồn tại 2 số có cùng giá trị. Điều này trái với giả thiết.
• Vậy nên có 2 số có cùng giá trị.
• Vì dãy a[i] tăng ngặt, nên a[i] < a[i]+13.
• Vậy nên phải tồn tại a[i]+13 = a[j] với j>i.
• Vậy a[j] - a[i] = 13.
• Vậy có một khoảng ngày liên tiếp mà bà mẹ cho con 13 cái kẹo.

4. Kết luận:

• Vậy nên có một khoảng ngày liên tiếp mà bà mẹ cho con ăn 13 cái kẹo.