Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
⇒ x2 + y2 ≥ 2xy
⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2
⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2
⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)
CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2
⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)
Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))
Đẳng thức xảy ra khi : x = y
Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a2 + b2 ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )
Từ ( * ; *** ) ⇒ a2 + b2 + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )
Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)
Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a2 + b2 + ab ≥ 6( a + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Ta có:
\(VT=\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}+1-2\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{y}{x}}-2\ge\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}+2\sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}}.\sqrt{\frac{y}{x}}}-2=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{-y+\sqrt{x}.\sqrt{y}}{\sqrt{y}}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}.\sqrt{y}-y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}}\)
\(=\frac{xy-y^2}{y}\)
\(=\frac{y\left(x-y\right)}{y}\)
= x - y (đpcm)