Question

[Vân Phi Tuyết]

mọi người giúp mình một trong hai bài với ạ, thanks

Bài 1: cho các số dương x, y thay đổi tm đk: x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

bài 2:cho hàm số f(n) xác định trên N thỏa:

f(n)=n-3 nếu n\(\ge1000\)

f(n)=f[f(n+5)] nếu n<1000.

Chứng minh rằng:

\(\frac{f\left(30\right)+f\left(4\right)}{2}+f\left(95\right)=1995\)

Answer 1

[fan FA]

Bài 1:

 Ta có: xy ≤ (x + y)²/4 = 1/4, dấu = xảy ra khi x = y = 1/2 
P = (x² + 1/y²)(y² + 1/x²) = (xy)² + 1 + 1 + 1/(xy)² 
= (xy)² + 1/[256(xy)²] + 255/[256(xy)²] + 2 
ta có: 
(xy)² + 1/[256(xy)²] ≥ 2 √(1/256) = 1/8. dấu = xảy ra khi x = y = 1/2 
255/[256(xy)²] + 2 ≥ 255/(256.1/16) + 2 = 287/16. dấu = xảy ra khi x = y = 1/2 
cộng theo vế → P ≥ 1/8 + 287/16 = 289/16 
vậy GTNN của P là 289/16, đạt được khi x = y = 1/2