CK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
Câu 1:
\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5=m\)
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=a\ge1\)
\(\Rightarrow a^2+a-5=m\) (1)
Xét phương trình: \(x^2-4x+5=a^2\Leftrightarrow x^2-4x+5-a^2=0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=5-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Nếu \(5-a^2>0\Rightarrow1\le a< \sqrt{5}\) thì pt có 2 nghiệm dương
Nếu \(5-a^2\le0\) \(\Leftrightarrow a\ge\sqrt{5}\) thì pt có 1 nghiệm dương
Vậy để pt đã cho có đúng 2 nghiệm dương thì: (1) có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(1\le a< \sqrt{5}\) hoặc có 2 nghiệm pb \(a_1>a_2\ge\sqrt{5}\)
Xét \(f\left(a\right)=a^2+a-5\) với \(a\ge1\)
\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}< 1\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến \(\forall a\ge1\) \(\Rightarrow y=m\) chỉ có thể cắt \(y=f\left(a\right)\) tại nhiều nhất 1 điểm có hoành độ \(a\ge1\)
\(f\left(1\right)=-3\) ; \(f\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb đều dương thì \(-3\le m< \sqrt{5}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
Câu 2:
\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) (1)
Ta có: \(mx^2+\left(m+1\right)x+m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2+x+1\right)\ge-x-1\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{-x-1}{x^2+x+1}=f\left(x\right)\) (2)
Để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) \(\Leftrightarrow\left(2\right)\) đúng với mọi \(x\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)\)
\(f'\left(x\right)=\frac{-\left(x^2+x+1\right)+\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x^2+x+1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow m\ge-\frac{3}{7}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2019
Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)
a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)
Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)
\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)
b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)
c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2019
d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)
\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)
\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)
e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)
f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)
Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)
\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2017
Lời giải:
Câu 1:
\(5^{2x}=3^{2x}+2.5^x+2.3^x\)
\(\Leftrightarrow 5^{2x}-2.5^x+1=3^{2x}+2.3^x+1\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1)^2=(3^x+1)^2\)
\(\Leftrightarrow (5^x-1-3^x-1)(5^x-1+3^x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (5^x-3^x-2)(5^x+3^x)=0\)
Vì \(3^x,5^x>0\Rightarrow 3^x+5^x>0\), do đó từ pt trên ta có \(5^x-3^x=2\)
\(\Leftrightarrow 5^x=3^x+2\)
TH1: \(x>1\)
\(\Rightarrow 5^x=3^x+2< 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1< \left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì bản thân \(\frac{2}{5},\frac{3}{5}<1\), và \(x>1\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x< \frac{2}{5};\left(\frac{3}{5}\right)^x<\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x< 1\) (vô lý)
TH2: \(x<1 \Rightarrow 5^x=3^x+2> 3^x+2^x\)
\(\Leftrightarrow 1>\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{2}{5}\right)^x\)
Vì \(\frac{2}{5};\frac{3}{5}<1; x<1\Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^x> \frac{3}{5}; \left(\frac{2}{5}\right)^x>\frac{2}{5}\Rightarrow \left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x>1\)
(vô lý)
Vậy \(x=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 10 2017
Câu 2:
Ta có \(1+6.2^x+3.5^x=10^x\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{10^x}+6.\frac{1}{5^x}+3.\frac{1}{2^x}=1\)
\(\Leftrightarrow 10^{-x}+6.5^{-x}+3.2^{-x}=1\)
Ta thấy, đạo hàm vế trái là một giá trị âm, vế phải là hàm hằng có đạo hàm bằng 0, do đó pt có nghiệm duy nhất.
Thấy \(x=2\) thỏa mãn nên nghiệm duy nhất của pt là x=2
Câu 3:
\(6(\sqrt{5}+1)^x-2(\sqrt{5}-1)^x=2^{x+2}\)
Đặt \(\sqrt{5}+1=a\), khi đó sử dụng định lý Viete đảo ta duy ra a là nghiệm của phương trình \(a^2-2a-4=0\)
Mặt khác, từ pt ban đầu suy ra \(6.a^x-2\left(\frac{4}{a}\right)^x=2^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow 6.a^{2x}-2^{x+2}a^x-2^{2x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^{2x}-2^{2x})=0\)
\(\Leftrightarrow 2(a^x-2^x)^2+4(a^x-2^x)(a^x+2^x)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^x-2^x)(6a^x+2^{x+1})=0\)
Dễ thấy \(6a^x+2^{x+1}>0\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow a^x-2^x=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{5}+1)^x=2^x\Leftrightarrow x=0\)
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 8 2017
Lời giải:
Để ý rằng \(\log _3(3^{x+1}-3)=\log_3[3(3^x-1)]=1+\log_3(3^x-1)\)
Đặt \(\log_3(3^x-1)=t\). Khi đó PT tương đương:
\(t(t+1)=6\Leftrightarrow (t-2)(t+3)=0\Rightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(t=2\rightarrow 3^x-1=9\Leftrightarrow 3^x=10\rightarrow x=\log_3(10)\)
Nếu \(t=-3\Rightarrow 3^x-1=\frac{1}{27}\Rightarrow 3^x=\frac{28}{27}\Rightarrow x=\log_3\left (\frac{28}{27}\right)\)
PT
Tìm m để hàm số sau xác định với mọi \(x\in R\) :
\(y=\frac{1}{\sqrt{\log_3\left(x^2-2x+3m\right)}}\)
1
6 tháng 5 2016
Hàm số xác định với mọi \(x\in R\) khi và chỉ khi
\(\log_3\left(x^2-2x+3m\right)>0,x\in R\)
\(x^2-2x+3m>1,x\in R\Leftrightarrow x^2-2x+3m-1>0x\in R\)
Vì \(a=1>0\) nên \(\Delta'< 0\Leftrightarrow1-\left(3m-1\right)< 0\Leftrightarrow m>\frac{2}{3}\)
Vậy với \(m>\frac{2}{3}\) thì hàm số đã cho xác định với mọi \(x\in R\)
DD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 1 2018
Lời giải:
Ta có: \(\log_3(9^{x+1})\log_3(9^x+1)=3\)
\(\Leftrightarrow (x+1)\log_39\log_3(9^x+1)=3\)
\(\Leftrightarrow (x+1)\log_3(9^x+1)=\frac{3}{2}\)
Từ đây suy ra \(x+1\neq 0\)
\(\Rightarrow \log_3(9^x+1)=\frac{3}{2(x+1)}\)
\(\Leftrightarrow 9^x+1=3^{\frac{3}{2(x+1)}}\) (*)
Đạo hàm vế trái: \((9^x+1)'=\ln 9.9^x>0\), hàm đồng biến
Đạo hàm vế phải: \((3^{\frac{3}{2(x+1)}})'=\frac{-3}{2(x+1)^2}.\ln 3.3^{\frac{3}{2(x+1)}}<0\), hàm nghịch biến
Do đó PT (*) có một nghiệm duy nhất.
Đến đây việc còn lại là dò nghiệm duy nhất đó.
\(x\approx 0,3795\)
pt ↔ \(\log_3\left(x+\frac{1}{x}+1\right)=2x-x^2\)
Nhận xét: \(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+1\ge3\Leftrightarrow\log_3\left(x+\frac{1}{x}+1\right)\ge1\)
Xét f(x) = 2x - x2 (x > 0), lập bbt thấy GTLN của hàm là f(1) = 1
Ta có; VT>=1 và VP=<1 nên VT = VP = 1, giải ra được x = 1 (thoả)