K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 2 2021

2 cách:

C1: Xài VCB tương đương khi x ->0

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{e^x-1+1}{e^x-1}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x}{x}=1\)

C2: Xài L'Hospital

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x-e^x+1}{x.e^x-x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x+e^x-e^x}{e^x.x+e^x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x}{e^x.x+e^x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x.x+e^x}{e^x.x+2e^x-1}=1\)

23 tháng 2 2021

Ủa mà lạ nhỉ, lớp 11 đã học số e đâu mà đã cho bài tập về dạng này rồi tar? 

NV
24 tháng 2 2020

Làm biếng viết đủ, bạn cứ tự hiểu là giới hạn khi x tiến tới gì gì đó nhé

a/ \(lim\frac{2x.sinx.cosx}{2sin^2x}=lim\frac{cosx}{\left(\frac{sinx}{x}\right)}=1\)

b/ \(lim\frac{-x}{x\left(\sqrt{1-x}+1\right)}=lim\frac{-1}{\sqrt{1-x}+1}=-\frac{1}{2}\)

c/ \(=lim\frac{1}{x}\left(\frac{x}{x+1}\right)=lim\frac{1}{x+1}=1\)

d/ \(lim\frac{\sqrt{-x}\left(2\sqrt{-x}+1\right)}{\sqrt{-x}\left(5\sqrt{-x}-1\right)}=lim\frac{2\sqrt{-x}+1}{5\sqrt{-x}-1}=\frac{1}{-1}=-1\)

24 tháng 2 2020

giải y như t trừ câu d t ra 2/5~ như mà ko có trong đáp án ~

NV
1 tháng 3 2020

Câu dưới là 1 giới hạn hoàn toàn bình thường (không phải dạng vô định), bạn cứ thay số vào là được thôi

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(1-x\right)tan\frac{\pi x}{2}=\left(1-0\right).tan0=1\)

29 tháng 2 2020

giai cau duoi thoi nha

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^x} - {e^{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\)

Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0} + \Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.{e^{\Delta x}} - {e^{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{{x_0}}}.\left( {{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}\\ &  = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {e^{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} = {e^{{x_0}}}.1 = {e^{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy \({\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\ln {\rm{x}} - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}}\)

Đặt \(x = {x_0} + \Delta x\). Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + \Delta x} \right) - \ln {{\rm{x}}_0}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {\frac{{{x_0} + \Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}}\end{array}\)

Đặt \(\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}} = t\). Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{1}{{{x_0}}};\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{{\Delta x}}{{{{\rm{x}}_0}}}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{{{x_0}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\)

Vậy \(f'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{x_0}}}.1 = \frac{1}{{{x_0}}}\)

Vậy \({\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

NV
25 tháng 2 2020

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-\left(x+2\right)\sqrt{\left(2-x\right)^2}}{\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(2-x\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow2^-}\frac{-\left(x+2\right)\sqrt{2-x}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0\)

HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023

a) Với x bất kì và \(h = x - {x_0}\), ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{{x_0} + h}} - {e^{{x_0}}}}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^{{x_o}}}\left( {{e^h} - 1} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {e^{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = {e^{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = {e^x}\)  có đạo hàm là hàm số \(y' = {e^x}\)

b) Ta có \({a^x} = {e^{x\ln a}}\,\)nên \(\left( {{a^x}} \right)' = \left( {{e^{x\ln a}}} \right)' = \left( {x\ln a} \right)'.{e^{x\ln a}} = {e^{x\ln a}}\ln a = {a^x}\ln a\)