Câu hỏi của Quoc Tran Anh Le

Question

Like và follow fanpage để cập nhật những tin tức mới nhất về cuộc thi nha :>Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | FacebookNếu bạn muốn đề xuất câu hỏi xuất hiện trong chuyên mục này các bạn hãy gửi qua form...

Hồng Phúc · Accepted Answer

[Toán.C17_19.1.2021]Gọi x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn $a=x+y;b=y+z;c=z+x$Khi đó: $a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\left(1\right)$$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(x-z\right)+\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)\left(y-x\right)+\left(z+x\right)^2\left(x+y\right)\left(z-y\right)\ge0$$\Leftrightarrow x^3z+y^3x+z^3y\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$$\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\left(2\right)$Áp dụng BĐT BSC:$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z$$\Rightarrow\left(2\right)$ đúng $\Rightarrow\left(1\right)$ đúngCâu trả lời: [Toán.C17_19.1.2021]Gọi x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn $a=x+y;b=y+z;c=z+x$Khi đó: $a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\left(1\right)$$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(x-z\right)+\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)\left(y-x\right)+\left(z+x\right)^2\left(x+y\right)\left(z-y\right)\ge0$$\Leftrightarrow x^3z+y^3x+z^3y\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$$\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\left(2\right)$Áp dụng BĐT BSC:$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z$$\Rightarrow\left(2\right)$ đúng $\Rightarrow\left(1\right)$ đúng

tthnew · Answer

VietNam TST, 1996.Chuẩn hóa $x^2+y^2+z^2=1.$ Cần chứng minh:$6\left(x+y+z\right)\le27xyz+10$Ta có: $1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow x^2y^2z^2\le\dfrac{1}{27}\Rightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\le xyz\le\dfrac{\sqrt{3}}{9}$Do đó: $VP\ge27\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\right)+10=10-3\sqrt{3}>0.$Nếu $x+y+z<0$ thì $VP>0>VT$ nên ta chỉ xét khi $x+y+z\geq 0.$Đặt $\sqrt{3}\geq p=x+y+z>0;q=xy+yz+zx,r=xyz.$Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$6p\le27r+10\quad\left(1\right)$Mà $x^2+y^2+z^2=1\Leftrightarrow p^2-2q=1\Rightarrow q=\dfrac{\left(p^2-1\right)}{2}\quad\left(2\right)$Ta có: $$(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2\geq 0.$$Chuyển sang $\textit{pqr}$ và kết hợp với $(2)$ suy ra ${\dfrac {5\,{p}^{3}}{54}}-\dfrac{p}{6}-{\dfrac {\sqrt {2 \left(3- {p}^{2} \right) ^{3}}}{54}}\leq r $Từ đây thay vào $(1)$ cần chứng minh:$$\dfrac{5}{2}p^3-\dfrac{21}{2}p+10\geqslant \dfrac{1}{2}\sqrt{2\left(3-p^2\right)^3}$$Hay là $$\dfrac{1}{4} \left( 27\,{p}^{4}+54\,{p}^{3}-147\,{p}^{2}-148\,p+346 \right) \left( p-1 \right) ^{2}\geqslant 0.$$Đây là điều hiển nhiên.Câu trả lời: VietNam TST, 1996.Chuẩn hóa $x^2+y^2+z^2=1.$ Cần chứng minh:$6\left(x+y+z\right)\le27xyz+10$Ta có: $1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow x^2y^2z^2\le\dfrac{1}{27}\Rightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\le xyz\le\dfrac{\sqrt{3}}{9}$Do đó: $VP\ge27\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\right)+10=10-3\sqrt{3}>0.$Nếu $x+y+z<0$ thì $VP>0>VT$ nên ta chỉ xét khi $x+y+z\geq 0.$Đặt $\sqrt{3}\geq p=x+y+z>0;q=xy+yz+zx,r=xyz.$Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:$6p\le27r+10\quad\left(1\right)$Mà $x^2+y^2+z^2=1\Leftrightarrow p^2-2q=1\Rightarrow q=\dfrac{\left(p^2-1\right)}{2}\quad\left(2\right)$Ta có: $$(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2\geq 0.$$Chuyển sang $\textit{pqr}$ và kết hợp với $(2)$ suy ra ${\dfrac {5\,{p}^{3}}{54}}-\dfrac{p}{6}-{\dfrac {\sqrt {2 \left(3- {p}^{2} \right) ^{3}}}{54}}\leq r $Từ đây thay vào $(1)$ cần chứng minh:$$\dfrac{5}{2}p^3-\dfrac{21}{2}p+10\geqslant \dfrac{1}{2}\sqrt{2\left(3-p^2\right)^3}$$Hay là $$\dfrac{1}{4} \left( 27\,{p}^{4}+54\,{p}^{3}-147\,{p}^{2}-148\,p+346 \right) \left( p-1 \right) ^{2}\geqslant 0.$$Đây là điều hiển nhiên.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP