Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử a < b < c thì a \(\ge\)2 ; b \(\ge\)3 ; c \(\ge\)5.
Ta có :
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)
suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\text{ ( đpcm )}\)
Số ước của A chỉ chứa thừa số nguyên tố là x thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố b là y thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố c là z thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố ab là xy thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố ac là xz thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố bc là yz thừa số, chỉ chứa thừa số nguyên tố abc là xyz thừa số. Vì A là ước của chính nó, do đó số ước của A bằng:
x+y+z+xy+yz+zx+xyz+1 = x(z+1)+y(z+1)+xy(z+1)+z+1 = (z+1)(x+y+xy+1)
= (z+1)[(x+1)+y(x+1)] = (z+1)(y+1)(x+1)
giả sử a<b<c thì a> hoặc bằng 2 , b> hoặc bằng 3 , c> hoặc bằng 5 ta có:
1/[a,b]=1/ab<hoặc=1/6 , 1/[b,c] = 1/bc < hoặc = 1/15 , 1/[c,a]=1/ca < hoặc =1/10
suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :
1/6+1/15+1/10=1/3
[a;b]=ab
[b;c]=bc
[c;a]=ca
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a;b\right]}+\frac{1}{\left[b;c\right]}+\frac{1}{\left[c;a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)
=>đpcm
Có :
[a,b]=a.b
[b,c]=b.c
[a,c]=c.a
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a<b<c
\(\Rightarrow a\ge2;b\ge3;c\ge5\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{2.5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)
(dpcm)
Vì abc = 1 và a, b, c >0 nên tồn tại x, y, z > 0 sao cho a = x/y , b = y/z , c = z/x
Thay vào BĐT cần chứng minh ta được
1/(ab + a + 2) + 1/(bc + b + 2) + 1/(ca + c + 2)
= yz/(xy + xz + 2yz) + xz/(yz + xy + 2xz) + xy/(xz + yz + 2xy)
= yz/[(xy + yz) + (xz + yz)] + xz/[(yz + xz) + (xy + xz)] + xy/[(xz + xy) + (yz + xy)]
Mặt khác, theo Cauchy thì:
a + b ≥ 2√(ab)
1/a + 1/b ≥ 2√(1/ab)
Từ đó: (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.√(ab/ab) = 4
<=> 4/(a + b) ≤ 1/a + 1/b
hay 1/(a + b) ≤ (1/4).(1/a + 1/b)
Sử dụng BĐT trên thì ta có:
1/[(xy + yz) + (xz + yz)] ≤ (1/4).[1/(xy + yz) + 1/(xz + yz)]
Hay
yz/[(xy + yz) + (xz + yz)] ≤ (1/4).[yz/(xy + yz) + yz/(xz + yz)] ---- (1)
Tương tự với 2 bộ còn lại
xz/[(yz + xz) + (xy + xz)] ≤ (1/4).[xz/(yz + xz) + xz/(xy + xz)] ---- (2)
và
xy/[(xz + xy) + (yz + xy)] ≤ (1/4).[xy/(xz + xy) + xy/(yz + xy)] ---- (3)
Cộng Vế (1), (2), (3) và nhóm những đa thức có mẫu chung ta được
Vế trái ≤ (1/4).[ (xy + yz)/(xy + yz) + (yz + xz)/(zy + xz) + (xz + xy)/(xz + xy)] = 3/4
Như vậy bài toán đã được chứng minh