K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 1)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{2\ln x}{x}\\ v=\frac{-1}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\int \left ( \frac{\ln}{x} \right )^2dx=\frac{-\ln^2x}{x}+2\int \frac{\ln x}{x^2}dx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} t=\ln x\\ dk=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dt=\frac{1}{x}dx\\ k=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x^2}dx=\frac{-\ln x}{x}-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\left(\frac{-\ln^2 x}{x}-\frac{2\ln x}{x}-\frac{2}{x}\right)=2-\frac{5}{e}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 2 2017
Câu 2)
\(I=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{1+\cos 2x}dx=\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{x}{\cos^2x}dx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\frac{dx}{\cos^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\tan x\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{x\tan x}{2}-\frac{1}{2}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0} \tan xdx\)
\(=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{2}\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\cos x)}{\cos x}=\frac{\pi}{8}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{\ln |\cos x|}{2}=\frac{\pi}{8}+\frac{\ln\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2022
\(I=\int\limits^e_1x^2.ln^2x.\dfrac{1}{x\left(lnx+1\right)^2}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2ln^2x\\dv=\dfrac{1}{x\left(lnx+1\right)^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2x.lnx\left(lnx+1\right)\\v=-\dfrac{1}{lnx+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\dfrac{x^2ln^2x}{lnx+1}|^e_1+\int\limits^e_12x.lnxdx=-\dfrac{e^2}{2}+I_1\)
Xét \(I_1\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=x^2lnx|^e_1-\int\limits^e_1xdx=...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
a.
\(\int\limits^{\sqrt{7}}_0\dfrac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx\)
Đặt \(\sqrt[3]{x^2+1}=u\Rightarrow x^2+1=u^3\Rightarrow x^2=u^3-1\Rightarrow x.dx=\dfrac{3}{2}u^2du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=\sqrt{7}\Rightarrow u=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^2_1\dfrac{\left(u^3-1\right).\dfrac{3}{2}u^2du}{u}=\int\limits^2_1\dfrac{3}{2}\left(u^4-u\right)du=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{5}u^5-\dfrac{1}{2}u^2\right)|^2_1\)
\(=\dfrac{141}{20}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 11 2021
b.
Đặt \(\sqrt{x+3}=u\Rightarrow x=u^2-3\Rightarrow dx=2udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=2\\x=6\Rightarrow u=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^3_2\dfrac{u+1}{u^2-3+2}.2udu=\int\limits^3_2\dfrac{2udu}{u-1}=\int\limits^3_22\left(1+\dfrac{1}{u-1}\right)du\)
\(=2\left(u+ln\left|u-1\right|\right)|^3_2=2\left(1+ln2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
a.
Đặt \(\sqrt{1-x^2}=u\Rightarrow x^2=1-u^2\Rightarrow xdx=-udu\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1\left(1-u^2\right).u.\left(-udu\right)=\int\limits^1_0\left(u^2-u^4\right)du=\left(\dfrac{1}{3}u^3-\dfrac{1}{5}u^5\right)|^1_0\)
\(=\dfrac{2}{15}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
b.
\(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{x^2-2x+2}=\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\left(x-1\right)^2+1}\)
Đặt \(x-1=tanu\Rightarrow dx=\dfrac{1}{cos^2u}du\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow u=0\\x=2\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{tan^2u+1}.\dfrac{1}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{cos^2u}{cos^2u}du=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0du\)
\(=u|^{\dfrac{\pi}{4}}_0=\dfrac{\pi}{4}\)
22 tháng 3 2016
\(I_1=3\int_1^2x^2dx+\int_1^2\cos xdx+\int_1^2\frac{dx}{x}=x^3\)\(|^2 _1\)+\(\sin x\)\(|^2_1\) +\(\ln\left|x\right|\)\(|^2_1\)
\(=\left(8-1\right)+\left(\sin2-\sin1\right)+\left(\ln2-\ln1\right)\)
\(=7+\sin2-\sin1+\ln2\)
22 tháng 3 2016
b) \(I_2=4\int_1^2\frac{dx}{x}-5\int_1^2x^4dx+2\int_1^2\sqrt{x}dx\)
\(=4\left(\ln2-\ln1\right)-\left(2^5-1^5\right)+\frac{4}{3}\left(2\sqrt{2}-1\sqrt{1}\right)\)
\(=4\ln2+\frac{8\sqrt{2}}{3}-32\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2020
\(I=\int\limits^2_1\frac{x\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)}{\left(3x+\sqrt{9x^2-1}\right)\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)}dx=\int\limits^2_1x\left(3x-\sqrt{9x^2-1}\right)dx\)
\(=\int\limits^2_13x^2dx-\frac{1}{18}\int\limits^2_1\sqrt{9x^2-1}.d\left(9x^2-1\right)\)
\(=x^3|^2_1-\frac{1}{27}\sqrt{\left(9x^2-1\right)^3}|^2_1=7-\frac{1}{27}\left(35\sqrt{35}-16\sqrt{2}\right)\)
27 tháng 12 2016
1) Đặt \(2+lnx=t\Leftrightarrow x=e^{t-2}\Rightarrow dx=e^{t-2}dt\)
\(I_1=\int\left(\frac{t-2}{t}\right)^2\cdot e^{t-2}\cdot dt=\int\left(1-\frac{4}{t}+\frac{4}{t^2}\right)e^{t-2}dt\\ =\int e^{t-2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt+4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt\)
Có:
\(4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt=-4\int e^{t-2}\cdot d\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}+4\int\frac{e^{t-2}}{t}dt\\ \Leftrightarrow4\int\frac{e^{t-2}}{t^2}dt-4\int\frac{e^{t-2}}{t^{ }}dt=-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}\)
Vậy \(I_1=\int e^{t-2}dt-\frac{4\cdot e^{t-2}}{t}=e^{t-2}-\frac{4e^{t-2}}{t}+C\)
27 tháng 12 2016
3) Đặt \(t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow t^2-1=\sqrt[3]{x^2}\Leftrightarrow x^2=\left(t^2-1\right)^3\)
\(d\left(x^2\right)=d\left[\left(t^2-1\right)^3\right]\Leftrightarrow2x\cdot dx=6t\left(t^2-1\right)^2\cdot dt\)
\(I_3=\int\frac{3t\left(t^2-1\right)^2}{t}dt=3\int\left(t^4-2t^2+1\right)dt=...\)
dua ve co so e giai ra thoi