TD
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
TD
0
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx+\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=A+B\)
Xét riêng rẽ:
\(A=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin^3 x}{(\sin x+\cos x)^3}.\frac{dx}{\sin ^2x}=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)^3}d(-\cot x)\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{(\cot x+1)^3}d(-\cot x)=-\int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{d(\cot x+1)}{(\cot x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{4}\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\cot x+1)^2}=\frac{3}{8}\)
\(B=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\sin x+\cos x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{ 1}{(\sin x+\cos x)^2}dx-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^3}dx\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2}.\frac{dx}{\cos ^2x}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{1}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos^3 x}\right)^3}.\frac{dx}{\cos ^2x}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^2}-\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{d(\tan x+1)}{(\tan x+1)^3}\)
\(=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{-1}{\tan x+1}+\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|\frac{1}{2(\tan x+1)^2}=\frac{1}{8}\)
Do đó: \(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^3}dx=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)
Sở dĩ phải chia tích phân thành tổng nhỏ như vậy là do khi ta thực hiện chia sin x xuống dưới mẫu thì hàm số không liên tục trong đoạn \([\frac{\pi}{2}; 0]\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 10 2021
\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}\dfrac{dx}{sin^2x.cos^2x}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}\dfrac{2d\left(2x\right)}{sin^22x}=-2cot2x|^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{8}}=...\)
\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{cos2xdx}{sin^2x.cos^2x}=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\left(\dfrac{1}{sin^2x}-\dfrac{1}{cos^2x}\right)dx=\left(-cotx-tanx\right)|^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\)
\(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{cos3x}{cosx}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\dfrac{4cos^3x-3cosx}{cosx}dx=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left(4cos^2x-3\right)dx\)
\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\left(2cos2x-1\right)dx=\left(sin2x-x\right)|^{\dfrac{\pi}{3}}_0=...\)
KR
31 tháng 1 2023
\(A=\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \int \frac{x+2-2}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \int \sqrt{x+2}-2\frac{1}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}-4\sqrt{x+2}+C\)
\(B=\int \frac{sinx+cosx}{\sqrt[3]{1-sin2x}}dx \\ x=\frac{\pi}{4}-u, dx=-du \\ =- \int \frac{sin(\frac{\pi}{4}-u)+cos(\frac{\pi}{4}-u)}{\sqrt[3]{1-sin(\frac{\pi}{2}-2u)}}du \\ = - \int \frac{\frac{1}{\sqrt2}cosu+\frac{1}{\sqrt2}sinu+\frac{1}{\sqrt2}cosu-\frac{1}{\sqrt2}sinu}{\sqrt[3]{1-cos2u}}du \\ = -\int \frac{\frac{2}{\sqrt2}cosu}{\sqrt[3]{1-cos2u}}du \\ = -\sqrt2 \int \frac{cosu}{\sqrt[3]{1-cos^2u+sin^2u}}du \\ = -\sqrt2 \int \frac{cosu}{\sqrt[3]{2sin^2u}}du \\ v=sinu, dv=cosudu \\ = -\sqrt2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2v^2}}dv \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} \int v^{-\frac{2}{3}}dv \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} 3v^\frac{1}{3}+C \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} 3\sqrt[3]{sin(\frac{\pi}{4}-x)}+C \)
HD
0
TD
0