Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) -Sửa đề: \(AC=4cm\) (sửa lại cho số được đẹp)
-△ABC vuông tại A có: \(BC^2=AB^2+AC^2\).
\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)
△ACH và △BCA có: \(\widehat{AHC}=\widehat{BAC};\widehat{BCA}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△ACH∼△BCA (g-g)
\(\Rightarrow\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{4^2}{5}=3,2\left(cm\right)\).
△ABC có: IH//BC (cùng vuông góc AB).
\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{CH}{CB}\Rightarrow AI=\dfrac{AB.CH}{CB}=\dfrac{3.3,2}{5}=1,92\left(cm\right)\).
-Tứ giác AIHK có: \(\widehat{IAK}=\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=90^0\).
\(\Rightarrow\)AIHK là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{CAH}\).
\(\widehat{CAH}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\).
-△AIK và △ACB có: \(\widehat{AKI}=\widehat{ABC};\widehat{BAC}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AIK∼△ACB (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AIK}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AI}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{1,92}{4}\right)^2=0,2304\)
\(\Rightarrow S_{AIK}=0,2304.S_{ABC}=0,2304.\dfrac{1}{2}.3.4=1,3824\left(cm^2\right)\)
b) *CM cắt AH tại D, BM cắt AC tại F.
AH⊥BC tại H, BM⊥BC tại B \(\Rightarrow\)AH//BM.
E đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\widehat{HAB}=\widehat{BAM}\)mà \(\widehat{HAB}=\widehat{ABM}\).
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\) \(\Rightarrow\)△ABM cân tại M \(\Rightarrow AM=BM\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MFA}\) \(\Rightarrow\)△AMF cân tại M \(\Rightarrow AM=FM\).
\(\Rightarrow BM=FM\) nên M là trung điểm BC.
-△BCM có: DH//BM \(\Rightarrow\dfrac{DH}{BM}=\dfrac{DC}{MC}\).
-△FCM có: AD//FM \(\Rightarrow\dfrac{DA}{FM}=\dfrac{DC}{MC}=\dfrac{DH}{BM}\Rightarrow DA=DH\)
\(\Rightarrow\)D là trung điểm AH mà AIHK là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow\)D là trung điểm IK.
-Vậy IK, AH, CM đồng quy tại D.
c: \(BE\cdot BA+CF\cdot CA+2\cdot BH\cdot CH\)
\(=BH^2+CH^2+2\cdot BH\cdot CH\)
\(=BC^2\)
Lời giải:
a. Vì $AH:AC=3:5$ nên đặt $AH=3a; AC=5a$ với $a>0$
Ta có: $AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}$
$AH^2=\frac{AB^2AC^2}{BC^2}=\frac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}$
$(3a)^2=\frac{15^2.(5a)^2}{15^2+(5a)^2}$
$\Leftrightarrow 9a^2=\frac{225a^2}{a^2+9}$
$\Leftrightarrow 9=\frac{225}{a^2+9}$
$\Leftrightarrow 9(a^2+9)=225$
$\Rightarrow a=4$ (cm)
$AH=3a=12$ (cm); $AC=5a=20$ (cm)
Áp dụng định lý Pitago:
$HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$ (cm)
$HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ (cm)
b.
Vì $AEHF$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^0$ nên đây là hình chữ nhật
$\Rightarrow EF=AH$
Do đó: $EF.BC=AH.BC=2S_{ABC}=AB.AC$ (đpcm)
