Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chú ý. Đối với những hệ phương trình có hệ số thập phân như thế này ta nên nhân với 10 để có hệ phương trình hệ số nguyên:
Thay vào ta thấy phương án A sai, còn phương án B đúng. Vậy đáp án là B.
Đáp án: B
Cách 1: Ta có :
x + y = 2 x - y = 3 a - 2 ⇔ x + y = 2 2 x = 3 a ⇔ y = 2 - 3 a 2 x = 3 a 2 .
Để x < y ⇔ 3 a 2 < 2 - 3 a 2 ⇔ 3 a < 2 ⇔ a < 2 3
Đáp án là D.
Cách 2: Có thể không cần tìm nghiệm của hệ bất phương trình , chỉ cần lập luận nếu x, y là nghiệm của hệ thì: x < y ⇔ x - y < 0 ⇔ 3 a - 2 < 0 ⇔ a < 2 3 .
Đáp án là D.
Ta có: x + y = 2 x - y = 5 a - 2 ⇔ x + y = 2 2 x = 5 a ⇔ x = 5 a 2 y = 2 - 5 a 2
Để x< y thì 5 a 2 < 2 - 5 a 2 ⇔ 5 a < 2 ⇔ a < 2 5 .
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=a;y+\dfrac{1}{y}=b\left(\left|a\right|\ge2;\left|b\right|\ge2\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\x^3+y^3+\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=15m-25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)+\left(y^3+\dfrac{1}{y^3}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)=15m-25\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}=5\\\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^3=15m-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a^3+b^3=15m-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=15m-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\125-15ab=15m-10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\ab=9-m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm của phương trình \(t^2-5t+9-m=0\left(1\right)\)
a, Nếu \(m=3\), phương trình \(\left(1\right)\) trở thành
\(t^2-5t+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=2\\y+\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\y^2-3y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=3\\y+\dfrac{1}{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, \(\left(1\right)\Leftrightarrow t=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\left(m\ge\dfrac{11}{4}\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\\b=\dfrac{5\mp\sqrt{4m-11}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}\\y+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5\mp\sqrt{4m-11}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-\left(5\pm\sqrt{4m-11}\right)+2=0\left(2\right)\\2y^2-\left(5\mp\sqrt{4m-11}\right)+2=0\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(2\right)\) có nghiệm dương
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(5\pm\sqrt{4m-11}\right)^2-16\ge0\\\dfrac{5\pm\sqrt{4m-11}}{2}>0\\1>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Viết lại hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\-x+2y=a+5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=5\\-2x+4y=2a+10\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5y=2a+15\Leftrightarrow y=\dfrac{2a+15}{5}\)
\(\Leftrightarrow x=2y-a-5=\dfrac{5-a}{5}\)
\(xy=\dfrac{5-a}{5}.\dfrac{2a+15}{5}=\dfrac{-2a^2-5a+75}{25}=\dfrac{-\left(a+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{625}{8}}{25}\le\dfrac{25}{8}\)
\(max=\dfrac{25}{8}\Leftrightarrow a=-\dfrac{5}{4}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\x^2+y^2=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=m\\\left(x+y\right)^2-2xy=m\end{matrix}\right.\)
Đặt x+y=a, xy=b, hệ phương trình trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)
a)Với m=5, hệ phương trình trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\a^2-2b=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\a^2-2\left(5-a\right)-5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=5-a\\\left[{}\begin{matrix}a=-5\\a=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\\\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=10\end{matrix}\right.\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy S={(2;1);(1;2)}
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2b=m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-1-\sqrt{3m+1}\\b=m+1+\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a=-1+\sqrt{3m+1}\\b=m+1-\sqrt{3m+1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)(m\(\ge\)\(\dfrac{-1}{3}\)) (1)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi a2\(\ge\) 4b
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}1+2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4+4\sqrt{3m-1}\\1-2\sqrt{3m-1}+3m-1\ge4m+4-4\sqrt{3m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\)m\(\ge\)0 (thỏa (1))
Vậy m\(\ge\)0 thì hệ phương trình có nghiệm
