Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
△\(=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(m-5\right)=m^2+2m+1-4m+20=m^2-2m+21>0\)Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) phân biệt
Theo định lí Vi-ét ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{m+1}{1}=m+1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-5}{1}=m-5\end{matrix}\right.\)
Ta lại có \(x_1^3-x_2^3=32\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=32\Leftrightarrow4.\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-x_1x_2\right)=32\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=8\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-\left(m-5\right)=8\Leftrightarrow m^2+2m+1-m+5-8=0\Leftrightarrow m^2+m-2=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy m=1 hoặc m=-2 thì phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=4\\x_1^3-x_2^3=32\end{matrix}\right.\)
Bài 2
a) thay \(n=0\) vào phương trình (i)
ta có : (i) \(\Leftrightarrow x^2+mx-3=0\)
ta có : \(\Delta=\left(m\right)^2-4.1.\left(-3\right)=m^2+12\ge12>0\forall m\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m (đpcm)
\(\frac{1-x_1}{1+x_2}+\frac{1-x_2}{1+x_1}=\frac{\left(1-x_1\right)\left(1+x_1\right)+\left(1-x_2\right)\left(1+x_2\right)}{\left(1+x_2\right)\left(1+x_1\right)}=\frac{1-x_1^2+1-x_2^2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}\)
\(=\frac{2-\left(x_1+x_2\right)^2+2x_1x_2}{3+x_1x_2}=\frac{2x_1x_2-2}{x_1x_2+3}=\frac{4m^2+2}{2m^2-7}\)
Suy ra \(\left(2x_1x_2-2\right)\left(2m^2-7\right)=\left(x_1x_2+3\right)\left(4m^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(4m^2-14\right)-4m^2+14=x_1x_2\left(4m^2+2\right)+12m^2+6\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2=\frac{-16m^2+8}{16}=-m^2+\frac{1}{2}\)
Từ đây ta viết được phương trình bậc hai phải tìm theo Thalet đảo.
Nguyễn Trương Nguyễn Việt Lâm Truong Viet Truong Nguyen Ánh Lê DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG Khôi Bùi
Điều kiện thứ nhất là \(x_1-x_2=5?????\)
\(x_1^3-x_2^3=35\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(\left(x_1-x_2\right)^2+3x_1x_2\right)=35\)
\(\Leftrightarrow5\left(25+3x_1x_2\right)=35\Rightarrow x_1x_2=-6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=5\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=5+x_2\\x_1x_2+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_2\left(5+x_2\right)+6=0\)
\(\Rightarrow x^2_2+5x_2+6=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3\\x_1=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2\\x_1=3\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4+2m+n=0\\9-3m+n=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=-6\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=3\\x_2=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9+3m+n=0\\4-2m+n=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\n=-6\end{matrix}\right.\)
Có \(\Delta=9-8=1>0\)
Nên pt luôn có 2 nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét có
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1x_2=2\end{cases}}\)
*Lập pt bậc 2 ẩn y
Có \(S_y=y_1+y_2=x_1+\frac{1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_1}\)
\(=\left(x_1+x_2\right)+\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=3+\frac{3}{2}\)
\(=\frac{9}{2}\)
\(P_y=y_1.y_2=\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_1}\right)\)
\(=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}\)
\(=2+2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{9}{2}\)
Vậy pt cần lập có dạng \(y^2-Sy+P=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-\frac{9}{2}+\frac{9}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2-9y+9=0\)