Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(4\left(x+1\right)^2=\sqrt{2\left(x^4+x^2+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow16\left(x+1\right)^4=2\left(x^4+x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)\left(7x^2+11x+7\right)=0\)
\(\sqrt{\frac{x+56}{16}+\sqrt{x-8}}=\frac{x}{8}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+56+16\sqrt{x-8}}=x\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(\sqrt{x-8}+8\right)^2}=x\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-8}+16=x\)
\(\Leftrightarrow x=24\)
Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:
\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)
\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)
Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)
1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)
\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)
\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (*)
Thật vậy, (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:
VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)
Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\).
Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)
hạ sách nhân liên hợp =))
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-4068290-\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-4068290\right)-\left(\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}-4066273\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+4x^3+8x^2+8x+4-4068290^2}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x+1-4066273^2}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+4x^3+8x^2+8x-16550983524096}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x-16534576110528}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-2016\right)\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x-2016\right)\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2016\right)\left(\dfrac{\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}\right)=0\)
Dễ thấy: \(\dfrac{\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}>0\)
Nên \(x-2016=0\Rightarrow x=2016\)
Phương pháp dành cho thường dân. Chống chỉ định những người không phải thường dân xem.
\(\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x+1\right)^2}-\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2+\left(x^2+x\right)^2}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4x^2+8x+4}-\sqrt{\left(x^2+x\right)^2+2x^2+2x+1}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x^2+2x\right)+4}-\sqrt{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x+2\right)^2}-\sqrt{\left(x^2+x+1\right)^2}=2017\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+2-x^2-x-1=2017\)
\(\Leftrightarrow x=2016\)
\(\sqrt{2023-\sqrt{x}}=2023-x\left(ĐK:x\ge0\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{x}\left(t\le2023\right)\)
Pt trở thành : \(\sqrt{2023-t}=2023-t^2\)
\(\Leftrightarrow2023-t=\left(2023-t^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow t^4-4046t+4092529=2023-t\)
\(\Leftrightarrow t^4-4045+4090506=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2023\left(n\right)\\t=2022\left(n\right)\end{matrix}\right.\)
+) Với \(t=2023\Rightarrow x^2=2023\Rightarrow x=\pm17\sqrt{7}\)
+) Với \(t=2022\Rightarrow x^2=2022\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2022}\)
Vì \(x\ge0\) \(\Rightarrow x\in\left\{17\sqrt{7};\sqrt{2022}\right\}\)
Vậy \(S=\left\{17\sqrt{7};\sqrt{2022}\right\}\)
1 số gợi ý
hpt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(2x-2y-1\right)=6\left(y+2\right)\\6y+12\sqrt{2x-1}=2y^2-2x+46\end{matrix}\right.\)(1)
Đặt \(\sqrt{2x-1}=t\left(t\ge0\right)\)
(1)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(t^2+1\right)\left(t^2-2y\right)=6\left(y+2\right)\left(2\right)\\6y+12t=2y^2-t^2+45\end{matrix}\right.\)
(2)\(\Leftrightarrow\left(t^2+4\right)\left(t^2-2y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-2y-3=0\)
ta có hpt mới sau : \(\left\{{}\begin{matrix}t^2-2y-3=0\\2y^2-t^2+45=6y+12t\end{matrix}\right.\)
một cách trâu bò nhưng hiệu quả là
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\2y^2-t^2-6y-12t+45=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\2\left(\dfrac{t^2-3}{2}\right)^2-t^2-6\left(\dfrac{t^2-3}{2}\right)-12t+45=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{t^2-3}{2}\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\t=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\x=5\end{matrix}\right.\)
\(\left(a,b,n\in N\right)\left\{{}\begin{matrix}n^2=a+b\\n^3+2=a^2+b^2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT cơ bản : \(x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(\rightarrow n^3+2=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(n^2\right)^2=\dfrac{1}{2}n^4\)
\(\Rightarrow n^3+2-\dfrac{n^4}{2}\ge0\)\(\Rightarrow0\le n\le2\)
Xét từng TH của n và kết quả nhận được là \(n=2\); (a,b) là hoán vị của (1,3)
1. hiểu rồi k ngày đăng cầu mới--->trả lời ngay
2. chưa hiểu hỏi bải ngày--> nhận lời giải thích luôn
3.chưa k quay về câu 1
ĐK \(x\ge-4\)
\(BPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3\ge0\\x\ge-4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\x\ge-4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{3}{2}\)
ĐK: \(x+4\ge0\) <=> \(x\ge-4\)
Bpt <=> \(\orbr{\begin{cases}x+4=0\\2x-3=0\end{cases}}\) hoặc \(2x-3>0\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=-4\\x=\frac{3}{2}\end{cases}}\)hoặc \(x>\frac{3}{2}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-4\\x\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)Thỏa mãn đk.
Vậy
\(\orbr{\begin{cases}x=-4\\x\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)