Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(cosA=2sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow cosA=2cos\frac{A}{2}.cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2cos^2\frac{A}{2}-1=2cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}-\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{A}{2}-4cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}+1=0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}cos\frac{A}{2}>0\\0< cos\frac{B-C}{2}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos\frac{A}{2}.cos\frac{B-C}{2}\le cos\frac{A}{2}\)
\(\Rightarrow4cos^2\frac{A}{2}-4cos\frac{A}{2}+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cos\frac{A}{2}-1\right)^2\le0\)
BPT có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2cos\frac{A}{2}-1=0\\B-C=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cos\frac{A}{2}=\frac{1}{2}\\B=C\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=120^0\\B=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=120^0\\B=C=30^0\end{matrix}\right.\)
\(2sinB.sinC=1+cosA\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)-cos\left(B+C\right)=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)+cosA=1+cosA\)
\(\Leftrightarrow cos\left(B-C\right)=1\)
\(\Rightarrow B-C=0\Rightarrow B=C\)
\(sinA=\frac{cosA+cosB}{sinB+sinC}=\frac{cosA+cosB}{2sinB}\) (do \(B=C\))
\(\Leftrightarrow2sinA.sinB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosC=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)+cosB=cosA+cosB\)
\(\Leftrightarrow cos\left(A-B\right)=cosB\)
\(\Rightarrow A-B=B\Rightarrow A=2B=B+C\)
Mà \(A+B+C=180^0\Rightarrow2A=180^0\Rightarrow A=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A
Gọi M là trung điểm BC, I là tâm đường tròn nội tiếp và N là hình chiếu của I lên AB
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=R\\AN=IN=IM=r\end{matrix}\right.\)
Áp dụng Pitago: \(AI=\sqrt{AN^2+IN^2}=r\sqrt{2}\)
Mà \(AI+IM=R\Rightarrow r\sqrt{2}+r=R\)
\(\Rightarrow r\left(\sqrt{2}+1\right)=R\Rightarrow\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}\)
cho tam giác ABC, chứng minh rằng: \(sinA+sinB-sinC=4.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(sinA+sinB-sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-sinC\)
\(=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=4cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\)
1+1=2
chuan