Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Do C thuộc nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay AC vuông góc MB.
Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC nên áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(BC.BM=AB^2=4R^2\)
b) Xét tam giác MAC vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IM = IC = IA
Vậy thì \(\Delta ICO=\Delta IAO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^o\)
Hay IC là tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn.
c) Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(MB.MC=MA^2=4IC^2\Rightarrow IC^2=\frac{1}{4}MB.MC\)
Xét tam giác AMB có I là trung điểm AM, O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình tam giác ABM.
Vậy thì \(MB=2OI\Rightarrow MB^2=4OI^2\) (1)
Xét tam giác vuông MAB, theo Pi-ta-go ta có:
\(MB^2=MA^2+AB^2=MA^2+4R^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(4OI^2=MA^2+4R^2.\)
d) Do IA, IC là các tiếp tuyến cắt nhau nên ta có ngay \(AC\perp IO\Rightarrow\widehat{CDO}=90^o\)
Tương tự \(\widehat{CEO}=90^o\)
Xét tứ giác CDOE có \(\widehat{CEO}=\widehat{CDO}=90^o\)mà đỉnh E và D đối nhau nên tứ giác CDOE nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Xét tứ giác CDHO có: \(\widehat{CHO}=\widehat{CDO}=90^o\) mà đỉnh H và D kề nhau nên CDHO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Vậy nên C, D, H , O, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO.
Nói cách khác, O luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE luôn đi qua điểm O cố định.
B C O O' H M A
a/
\(OB\perp BC\left(gt\right);MH\perp BC\left(gt\right);O'C\perp BC\left(gt\right)\) => OB//MH//O'C
=> BCO'O là hình thang
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{OM}{O'M}=1\left(Talet\right)\Rightarrow BH=CH\)
=> MH là đường trung bình của hình thang BCO'O
\(\Rightarrow MH=\dfrac{OB+O'C}{2}=\dfrac{R+r}{2}\)
\(OM=O'M=\dfrac{OO'}{2}=\dfrac{R+r}{2}\)
\(\Rightarrow HM=OM=O'M=\dfrac{R+r}{2}\)
=> tg MOH và tg MO'H cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MOH}=\widehat{MHO}\) và \(\widehat{MO'H}=\widehat{MHO'}\)
Xét tg MOH có
\(\widehat{HMO'}=\widehat{MOH}+\widehat{MHO}=2\widehat{MHO}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó
C/m tương tự khi xét tg MHO'
\(\widehat{HMO}=2\widehat{MHO'}\)
\(\Rightarrow\widehat{HMO'}+\widehat{HMO}=\widehat{OMO'}=180^o=2\left(\widehat{MHO}+\widehat{MHO'}\right)\)
\(\Rightarrow180^o=2\widehat{OHO'}\Rightarrow\widehat{OHO'}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
b/
MH//OB (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BOH}=\widehat{MHO}\) (Góc so le trong)
Mà \(\widehat{MOH}=\widehat{MHO}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{BOH}=\widehat{MOH}\)
c/
Ta có O, A, O' thẳng hàng (Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của 2 đường tròn)
Xét tg BOH và tg AOH có
\(\widehat{BOH}=\widehat{MOH}\) (cmt)
OA=OB=R
OH chung
=> tg BOH = tg AOH (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{OAH}=\widehat{OBH}=90^o\Rightarrow AH\perp OO'\)
=> AH là tiếp tuyến chung của (O) và (O')