Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C O M D E H K I P
a) Xét tứ giác ABOC: ^ABO=^ACO=900 (Do AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O))
=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn dường kính AO (1)
Ta có: DE là dây cung của (O), I là trung điểm DE => OI vuông góc DE => ^OIA=900
Xét tứ giác ABOI: ^ABO=^OIA=900 => Tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính AO (2)
(1) + (2) => Ngũ giác ABOIC nội tiếp đường tròn
Hay 4 điểm B;O;I;C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).
b) Gọi P là chân đường vuông góc từ D kẻ đến OB
Ta có: Tứ giác BOIC nội tiếp đường tròn => ^ICB=^IOP (Góc ngoài tại đỉnh đối) (3)
Dễ thấy tứ giác DIPO nội tiếp đường tròn đường kính OD
=> ^IOP=^IDP (=^IDK) (4)
(3) + (4) => ^ICB=^IDK (đpcm).
c) ^ICB=^IDK (cmt) => ^ICH=^IDH => Tứ giác DHIC nội tiếp đường tròn
=> ^DIH=^DCH hay ^DIH=^DCB.
Lại có: ^DCB=^DEB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) => ^DIH=^DEB
Mà 2 góc trên đồng vị => IH // EB hay IH // EK
Xét tam giác KDE: I là trung điểm DE (Dễ c/m); IH // EK; H thuộc DK
=> H là trung điểm DK (đpcm).
M A C D B O K N E F H I
a/
Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn
b/
Ta có
\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\)
Ta có
MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)
M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N
c/
Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có
OC chung
NC = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)
Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)
Ta có
sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)
=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN
=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB
\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)
Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)
Xét tg CKA và tg ODC có
\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)
d/
Gọi I là giao của EF với MA
Xét tg OAB và tg OEF có
OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))
\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)
Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)
Xét \(\Delta MIE\) có
\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I