Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M A C D B O K N E F H I
a/
Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn
b/
Ta có
\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\)
Ta có
MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)
M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N
c/
Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có
OC chung
NC = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)
Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)
Ta có
sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)
=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN
=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB
\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)
Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)
Xét tg CKA và tg ODC có
\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)
d/
Gọi I là giao của EF với MA
Xét tg OAB và tg OEF có
OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))
\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)
Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)
Xét \(\Delta MIE\) có
\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I
A B C D E F H P K I G M O
c) Gọi K là giao điểm của EF và AH, I và G lần lượt là trung điểm của EF và AH.
Ta thấy \(\left(DKHA\right)=-1\),G là trung điểm của HA => \(DK.DG=DH.DA=DB.DC\)
=> K là trực tâm của \(\Delta\)BGC => CK vuông góc BG
Vì CK vuông góc BG, BH vuông góc AC nên \(\widehat{ACK}=\widehat{HBG}\)(1)
Ta có \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{APC}\)=> (P,K,E,C)cyc => \(\widehat{ACK}=\widehat{APM}=\widehat{ABM}\)(2)
Lại có \(\Delta\)BFE ~ \(\Delta\)BHA, I và G lần lượt là trung điểm của FE và HA => \(\widehat{HBG}=\widehat{FBI}\)(3)
Từ (1);(2);(3) suy ra \(\widehat{ABM}=\widehat{FBI}\), mà BF trùng BA nên B,I,M thẳng hàng hay BM chia đôi EF.
Bạn tham khảo thêm cách này:
Ta có \(\widehat{FGE}+\widehat{FDE}=2\widehat{BAC}+(180^0-2\widehat{BAC})=180^0\)
=> Tứ giác FGED nội tiếp, vì DG là phân giác góc EDF nên \(\Delta\)DFK ~ \(\Delta\)DGE (g.g)
=> \(DK.DG=DE.DF\)
Lại có \(\Delta\)DBF ~ \(\Delta\)DEC (g.g) => \(DE.DF=DB.DC\)
Suy ra \(DK.DG=DB.DC\)=> \(\Delta\)BDK ~ \(\Delta\)GDC (c.g.c)
=> \(\widehat{DBK}=\widehat{DGC}\). Mà \(\widehat{DGC}\)phụ \(\widehat{GCB}\)nên BK vuông góc GC
Vậy K là trực tâm tam giác BGC.
a, HS tự làm
b, Chú ý hai đường phân giác trong và ngoài tại một đỉnh vuông góc nhau
c, Chú ý BM là phân giác góc ABC. Từ đó tính được số đo các góc của tam giác MAB và suy ra ĐPCM
Chú ý Hai tam giác MAB và ABC đều là các tam giác nửa đều
Từ đó tính được tỉ số đồng dạng là 1/2