Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) ĐKXĐ: \(x\geq 8\)
\(A=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-8}=\frac{9}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8}}\). Mà:
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8}=\sqrt{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8})^2}=\sqrt{2x-7+2\sqrt{(x+1)(x-8)}}\)
\(\geq \sqrt{2.8-7+2.0}=3\) với mọi $x\geq 8$
Do đó: \(A=\frac{9}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-8}}\leq \frac{9}{3}=3\)
Vậy \(A_{\max}=3\Leftrightarrow x=8\)
b) ĐKXĐ: \(3\leq x\leq 5\)
\(B=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=\sqrt{(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x})^2}=\sqrt{2+2\sqrt{(x-3)(5-x)}}\)
\(\geq \sqrt{2+2.0}=\sqrt{2}, \forall 3\leq x\leq 5\)
Vậy \(B_{\min}=\sqrt{2}\Leftrightarrow 3\leq x\leq 5\)
1 ) \(A=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)
ĐKXĐ : \(2\le x\le4\)
\(\Rightarrow A^2=x-2+4-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}=2+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(4-x\right)}\le x-2+4-x=2\)
\(\Rightarrow A^2\le2+2=4\Rightarrow-2\le A\le2\)
Mà A > 0 nên ko thể có min = - 2 nên \(2\le x\le4\) ta chọn x = 2
=> A = \(\sqrt{2}\)
Vậy \(\sqrt{2}\le A\le2\)
\(A^2=\left(2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x-4+8-x\right)=20..\)
\(A\le2\sqrt{5}..\)
Lời giải:
Đặt \(\sqrt{x}=a(a\ge 0)\)
Khi đó: \(P=\frac{4a}{3(a^2-a+1)}\)
Để \(P=\frac{8}{9}\Rightarrow \frac{4a}{3(a^2-a+1)}=\frac{8}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{a^2-a+1}=\frac{2}{3}\Rightarrow 3a=2(a^2-a+1)\)
\(\Leftrightarrow 2a^2-5a+2=0\Leftrightarrow (a-2)(2a-1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a-2=0\\ 2a-1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2=\sqrt{x}\\ a=\frac{1}{2}=\sqrt{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=4\\ x=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) (t/m)
b)
Vì \(a\geq 0; a^2-a+1=(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0\)
Do đó: \(P=\frac{4}{3}.\frac{a}{a^2-a+1}\geq \frac{4}{3}.0=0\)
Vậy \(P_{\min}=0\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow x=0\)
-------
Áp dụng BĐT Cô-si: \(a^2+1\geq 2a\Rightarrow a^2-a+1\geq 2a-a=a\)
\(\Rightarrow \frac{a}{a^2-a+1}\leq \frac{a}{a}=1\Rightarrow P=\frac{4}{3}.\frac{a}{a^2-a+1}\leq \frac{4}{3}.1=\frac{4}{3}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow x=1\)
Bài 2:
Đặt \(P=\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-\sqrt{12-4\sqrt{5}}\)
Có:
\(4+\sqrt{15}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=\frac{5+3+2\sqrt{3.5}}{2}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{4+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\)
Tương tự: \(\sqrt{4-\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(12-4\sqrt{5}=12-2\sqrt{20}=10+2-2\sqrt{10.2}=(\sqrt{10}-\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{12-4\sqrt{5}}=\sqrt{10}-\sqrt{2}\)
Vậy \(P=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-(\sqrt{10}-\sqrt{2})\)
\(=\sqrt{2}\)
Lời giải:
ĐK để tồn tại các biểu thức là $x\geq 0$
a) Ta thấy: $\sqrt{x}\geq 0\Rightarrow \sqrt{x}+5\geq 5$
$\Rightarrow A=\frac{2}{\sqrt{x}+5}\leq \frac{2}{5}$
Vậy $A_{\max}=\frac{2}{5}$ khi $x=0$
b) $\sqrt{x}+7\geq 7$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}+7}\leq \frac{1}{7}$
$\Rightarrow B=\frac{-3}{\sqrt{x}+7}\geq \frac{-3}{7}$
Vậy $B_{\min}=\frac{-3}{7}$ khi $x=0$
c)
$2\sqrt{x}+1\geq 1\Rightarrow C=\frac{5}{2\sqrt{x}+1}\leq 5$
Vậy $C_{\max}=5$ khi $x=0$
d)
$3\sqrt{x}+2\geq 2\Rightarrow \frac{1}{3\sqrt{x}+2}\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow D=\frac{-7}{3\sqrt{x}+2}\geq \frac{-7}{2}$
Vậy $B_{\min}=\frac{-7}{2}$ khi $x=0$
Bài 2:
a: \(\sqrt{4-x^2}>=0\)
Dấu '=' xảy ra khi x=2 hoặc x=-2
b: \(\sqrt{x^2-x+3}=\sqrt{x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{4}}\)
\(=\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}}>=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi x=1/2
c: \(x+\sqrt{x}+1>=1\)
=>1/(x+căn x+1)<=1
Dấu '=' xảy ra khi x=0