Question

[dinh thi ngoc huyen]

goi a ,b,c lan luot la do dai 3 cach cua 1 tam giac

cm: a⁴+b⁴+c⁴<2(a²b²+b²c²+c²a²)

Answer 1

[Nguyễn Thị Ngọc Thơ]

Ta có:

\(BĐT\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4>0\)

\(\Leftrightarrow4a^2b^2-\left(a^2+b^2\right)^2+2c^2\left(a^2+b^2\right)-c^4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left[\left(a^2+b^2\right)^2-2c^2\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2\right)^2\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[c^2-\left(a+b\right)^2\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(c+b-a\right)\left(c+a-b\right)>0\) (1)

Vì a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

Vậy \(a^4+b^4+c^4< 2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Ngọc Thơ]

Dòng thứ 5 dưới lên là \(c^2-\left(a-b\right)^2\) nhé.