Question

[ღHồ ღHoàng ღYến ღTrang]

Giúp với:

1.Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. CMR:có thể cắt tấm bìa thành 6 phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

2.Chứng minh rằng đa thức: \(P\left(x\right)=x^5-3x^4+6x^3-3x^2+9x-6\) không thể có nghiệm là số nguyên.

Mai có bài tiếp, mong mọi người giúp đỡ ^.^

Answer 1

[KhảTâm]

1.Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.

Ta có \(a^2+b^2=c^2;a,b,c\in\)N* , diện tích tam giác ABC là \(S=\frac{ab}{2}\)

Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.

+ Chứng minh \(ab⋮3\): Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì \(a^2+b^2\)chia 3 dư 2. Suy ra số chính phương \(c^2\)chia 3 dư 2, vô lí.

+ Chứng minh \(ab⋮4\): - Nếu a,b chẵn thì \(ab⋮4\)

- Nếu trong hai số a,b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.

Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì \(c^2⋮4\), trong lúc \(a^2+b^2\)không thể chia hết cho 4. Đặt \(a=2k+1,c=2h+1,k,h\in N\)

Ta có: \(b^2=\left(2h+1\right)^2-\left(2k+1\right)^2=4\left(h-k\right)\left(h+k+1\right)\)

               \(=4\left(h-k\right)\left(h-k+1\right)+8k\left(h-k\right)⋮8\)

Suy ra \(b⋮4\). Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác có diện tích bằng \(\frac{ab}{2}\)là một số nguyên.

Answer 2

[KhảTâm]

2. Với \(a\in Z,\)ta có: \(P\left(a\right)=a^5-3a^4+6a^3-3a^2+9a-6\)

Nếu a chia hết cho 3 thì tất cả các số hạng trong P(a) đều chia hết cho 9, trừ số hạng cho 6, do đó P(a) không chia hết cho 9, nghĩa là \(P\left(a\right)\ne0\).

Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^5\)không chia hết cho 3 trong khi tất cả các số hạng khác trong P(a) đều chia hết cho 3, do đó P(a) không chia hết cho 3, nghĩa là \(P\left(a\right)\ne0\). Vậy \(P\left(a\right)\ne0\)với mọi \(a\in Z\).