Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3: góc AMN=góic ACM
=>AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECM
=>góc AMB=90 độ
=>Tâm o1 của đường tròn ngoại tiếp ΔECM nằm trên BM
NO1 min khi NO1=d(N;BM)
=>NO1 vuông góc BM
Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N xuống BM
=>O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM có bán kính là O1M
=>d(N;tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM) nhỏ nhất khi C là giao của (O1;O1M) với (O) với O1 ;là hình chiếu vuông góc của N trên BM
Min:
Do \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge1\\a^2+b^2+c^2=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\Rightarrow a^2+2\le3a\Rightarrow a\ge\dfrac{a^2+2}{3}\)
Tương tự: \(b\ge\dfrac{b^2+2}{3}\) ; \(c\ge\dfrac{c^2+2}{3}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2+6}{3}=4\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge16\)
\(\Rightarrow6+2\left(ab+bc+ca\right)\ge16\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge5\)
\(P_{min}=5\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right)\) và các hoán vị
Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà đt luôn đi qua với mọi m
\(\Leftrightarrow mx_0+3+3my_0-y_0=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0+3y_0\right)+\left(3-y_0\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+3y_0=0\\3-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-9\\y_0=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-9;3\right)\)
Vậy đồ thị luôn đi qua \(A\left(-9;3\right)\) với mọi m
a: Ta có: AD=DE=EC
mà AD+DE+EC=3a
nên \(AD=DE=EC=a\)
mà AB=a
nên AB=AD=DE=EC=a và DC=2a
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:
\(BD^2=BA^2+AD^2\)
\(\Leftrightarrow BD^2=a^2+a^2=2a^2\)
hay \(BD=a\sqrt{2}\)
Ta có: \(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
mà \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
nên \(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)
b: Xét ΔBDE và ΔCDB có
\(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)
\(\widehat{BDC}\) chung
Do đó: ΔBDE\(\sim\)ΔCDB
a: Ta có: \(M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(=\dfrac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
b: Ta có: \(x=\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{8}{\sqrt{5}+1}\)
\(=2\left(\sqrt{5}+1\right)-2\left(\sqrt{5}-1\right)\)
\(=2\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+2\)
=4
Thay x=4 vào M, ta được:
\(M=\dfrac{2}{4+2+1}=\dfrac{2}{7}\)
Câu 3:
a.
Biến đổi biểu thức A ta được:
\(A=\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{5}{x}=\dfrac{x^2-5x+5}{x-x^2}\)
Ta có:
\(A-\left(5+2\sqrt{5}\right)=\dfrac{\left[\left(12+4\sqrt{5}\right)x-10-2\sqrt{5}\right]^2}{24+8\sqrt{5}}\ge0\)
Do đó:
\(A_{min}=5+2\sqrt{5}\) khi \(x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}\)
b.
Từ giả ta có các nhận xét sau
\(\sqrt{2022}=\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\ge\Sigma\dfrac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{1011}\)
\(\sqrt{2022}=\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\le\sqrt{3\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge337\)
Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta có thể giả sử:
\(a\le b\le c\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le b^2\le c^2\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{a+b}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bđt Chebyshev cho hai bộ số cùng chiều
\(\left(a^2,b^2,c^2\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\right)\) :
\(VT\ge\dfrac{1}{3}.\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a+b+c\right)}\ge\dfrac{\sqrt{1011}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{1011}}{3}\)
a: \(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)+\sqrt{x}+2-x}{x-\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1-x+\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)
b; Để E>1 thì E-1>0
=>\(\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>0\)
=>\(\sqrt{x}-1>0\)
=>x>1
c: \(E=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)
=>\(E>=2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=4\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=1\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=-1\\\sqrt{x}-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x=0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
d: Để E là số nguyên thì \(x⋮\sqrt{x}-1\)
=>\(x-1+1⋮\sqrt{x}-1\)
=>\(\sqrt{x}-1\in\left\{1;-1\right\}\)
=>\(\sqrt{x}\in\left\{2;0\right\}\)
=>\(x\in\left\{4;0\right\}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: x=4
e: E=9/2
=>\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{9}{2}\)
=>\(2x=9\sqrt{x}-9\)
=>\(2x-3\sqrt{x}-6\sqrt{x}+9=0\)
=>\(\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=0\)
=>x=9 hoặc x=9/4
a) \(E=\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}+1}:\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{2-x}{x-\sqrt{x}}\right)\)
\(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\left[\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)
\(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)
\(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\dfrac{x-1+\sqrt{x}+2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}:\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(E=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
\(E=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)
b) \(E>1\) khi:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}>1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}>0\)
Mà:
\(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}>1\)
\(\Rightarrow x>1\)
c) Ta có:
\(E=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\) với \(x>1\)
\(E=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}\)
\(E=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(E=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(E=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)
\(\Rightarrow E\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}+2=2\cdot1+2=4\)
Dấu "=" xảy ra:
\(\left(\sqrt{x}-1\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=1\\\sqrt{x}-1=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=0\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\left(ĐK:x>1\right)\)
Vậy: ...
d) \(E\in Z\) khi:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\in Z\)
\(\Rightarrow1\) ⋮ \(\sqrt{x}-1\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}-1\) \(\in\) Ư(1)
Mà: \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;0\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{4;0\right\}\)
Vậy: ...
e) \(E=\dfrac{9}{2}\) khi:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x=9\sqrt{x}-9\)
\(\Leftrightarrow2x-9\sqrt{x}+9=0\)
\(\Leftrightarrow2x-6\sqrt{x}-3\sqrt{x}+9\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)-3\left(\sqrt{x}-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\2\sqrt{x}-3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\2\sqrt{x}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3^2\\x=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(tm\right)\\x=\dfrac{9}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)