K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 4 2019

Theo bất đẳng thức tam giác:

\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< a+c\\c< a+b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)

Cộng các bất đẳng thức lại với nhau có điều cần CM

8 tháng 4 2018

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2-4a^2-4b^2-4c^2+4ab+4ac+4bc=0\)

\(\Rightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc=0\)

\(\Rightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(b^2-2bc+c^2\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

\(\Rightarrow-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(a-c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)

18 tháng 3 2016

1) a2 +b2 +c2>= ab +bc +ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 >=2ab +2bc +2ca <=> 2a2 +2b2 +2c2 -2ab -2bc -2ca >= 0

<=> (a -b)2 +(b -c)2 + (c -a)>= 0 (bđt đúng với mọi a, b, c)

2) Áp dụng bđt Cauchy với a, b, c > 0 ta có :

\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc.ab}{ac}}=2b\)

tương tự : \(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\)\(\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\ge2c\)

Cộng từng vế 3 bđt trên suy ra đpcm

3) Từ gt a a +b =c => a +b -c =0 => (a +b -c)= 0 => a2 +b2 +c2 +2ab -2bc -2ca = 0

=> a2 +b2 +c2 = 2bc + 2ca -2ab => (a2 +b2 +c2)2 = (2bc +2ca -2ab)2 

=> a4 +b4 +c4 +2a2b2 +2b2c2 +2c2a2 = 4b2c2 +4c2a2 +4a2b2 +4abc2-4a2bc - 4ab2c

=> a4 +b4 +c4 -2a2b2 -2b2c2 -2c2a2 = 4abc(c -a -b) = 4abc.0 =0

Vậy a4 +b4 +c4 = 2a2b2 +2b2c2 +2c2a2

18 tháng 3 2016

Mọi người giúp  mình bài nay với. Mai mình nộp bài mà mình lại học toán hơi kém tí.  Thanhks trước. 

Bài 1: cho a, b, c thuộc  R.

Chứng minh a2 + b+ c2  >=  ab+ac+bc

Bài 2:cho a, b, c >0.

 Chứng minh (bc/a)+(ac/b)+(ab/c)>= a+b+c

Bài 3: cho a, b, c thoả mãn a+b=c.  

Chứng  minh  a +b4 +c =2a2b2 +2b2c2 + 2a2c2

25 tháng 4 2017

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

vì(a-b)2;(b-c)2,(c-a)2>=0 nên a-b=b-c=c-a=>a=b=c=>..như trên

25 tháng 4 2017

Ta có :

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\))

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Vậy ...

25 tháng 4 2017

sử dung bđt xy </ (x2+y2)/2 

Từ đó ta có sigma (ab) </ sigma (a2+b2)/2=2(a2+b2+c2)/2=a2+b2+c2 , "=" <=> a=b=c

2 tháng 5 2019

\(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-b-c\\b=-a-c\\c=-a-b\end{cases}}\)

\(ab+bc+ac=\left(-b-c\right).b+\left(-a-c\right).c+\left(-a-b\right).a\)

\(=-\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ac\right)=-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)(đpcm)

11 tháng 5 2019

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100%:mik có cách khác nè:3

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\Rightarrowđpcm\)

18 tháng 5 2016

phan tinh ra thi o=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc

                      0=(a-b)^2+(a-c)^2+(b+c)^2

                      suy ra (a-b)^2>=0 (1)

                               (a-c)^2>=0 (2)

                               (b-c)^2>=0 (3)

tu 1 va 2 suy ra a=b (4)

tu1va 3 suy ra a=c (5)

tu 4 va 5 suy ra a=b=c (dpcm)