Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
\(\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x^2+x+3}-3}{2-\sqrt{x+2}}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{\frac{x^2+x+3-9}{\sqrt{x^2+x+3}+3}}{\frac{4-(x+2)}{2+\sqrt{x+2}}}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{2-x}.\frac{2+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2+x+3}+3}\)
\(=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+3)}{2-x}.\frac{2+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2+x+3}+3}=\lim\limits_{x\to 2}-(x+3).\frac{2+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2+x+3}+3}=\frac{-10}{3}\)
AH song song BG nên góc giữa AH và EG bằng góc giữa EG và BG, hay bằng góc \(\widehat{BGE}\)
Mà \(EG=BG=BE\) (đều là đường chéo hình vuông cạnh bằng nhau)
\(\Rightarrow\) Tam giác BEG đều \(\Rightarrow\widehat{BGE}=60^0\)
Phương trình tương đương
\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.,k\in Z\)
Xét họ nghiệm \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi,k\in Z\).
Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{5\pi}{12}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{11\pi}{12}< k\pi< \dfrac{9\pi}{4}\)
⇒ \(-\dfrac{11}{12}< k< \dfrac{9}{4}\). Mà k ∈ Z nên k ∈ {0 ; 1}
Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp :
S1 = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12}\right\}\)
Xét họ nghiệm \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) với k ∈ Z.
Do \(-\dfrac{\pi}{2}< \dfrac{-\pi}{4}+k\pi< \dfrac{8\pi}{3}\) nên \(-\dfrac{\pi}{4}< k\pi< \dfrac{35\pi}{12}\)
nên \(-\dfrac{1}{4}< k< \dfrac{35}{12}\). Mà k ∈ Z nên k∈ {0 ; 1 ; 2}
Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp
S2 = \(\left\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)
Vậy các nghiệm thỏa mãn phương trình là các phần tử của tập hợp
S = S1 \(\cup\) S2 = \(\left\{\dfrac{5\pi}{12};\dfrac{17\pi}{12};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)
a: \(\widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)
Ta có: SA\(\perp\)(ABCD)
=>SA\(\perp\)AC
=>ΔSAC vuông tại A
Vì ABCD là hình vuông
nên \(AC=AD\cdot\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)
Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\)
nên \(\widehat{SCA}=60^0\)
=>\(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}=60^0\)
b: Ta có: BD\(\perp\)AC
BD\(\perp\)SA
SA,AC cùng thuộc mp(SAC)
Do đó: BD\(\perp\)(SAC)
\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}=\widehat{SB;SD}=\widehat{BSD}\)
Vì ABCD là hình vuông
nên \(AC=BD=a\sqrt{2}\)
ΔSAD vuông tại A
=>\(SA^2+AD^2=SD^2\)
=>\(SD^2=\left(a\sqrt{6}\right)^2+a^2=7a^2\)
=>\(SD=a\sqrt{7}\)
ΔSAB vuông tại A
=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)
=>\(SB=a\sqrt{7}\)
Xét ΔSBD có \(cosBSD=\dfrac{SB^2+SD^2-BD^2}{2\cdot SB\cdot SD}\)
\(=\dfrac{7a^2+7a^2-2a^2}{2\cdot a\sqrt{7}\cdot a\sqrt{7}}=\dfrac{6}{7}\)
=>\(sinBSD=\sqrt{1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{7}\)
=>\(\widehat{BSD}\simeq31^0\)
=>\(\widehat{SB;\left(SAC\right)}\simeq31^0\)
a. Ta có : \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow BC\perp SA\)
Đáy ABCD là HV \(\Rightarrow BC\perp AB\)
Suy ra : \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow\left(SAB\right)\perp\left(SBC\right)\) ( đpcm )
b. \(\left(SBD\right)\cap\left(ABCD\right)=BD\)
O = \(AC\cap BD\) ; ta có : \(AO\perp BD;AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}a\)
Dễ dàng c/m : \(BD\perp\left(SAC\right)\) \(\Rightarrow SO\perp BD\)
Suy ra : \(\left(\left(SBD\right);\left(ABCD\right)\right)=\left(SO;AO\right)=\widehat{SOA}\)
\(\Delta SAO\perp\) tại A có : tan \(\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{SOA}\approx54,7^o\) \(\Rightarrow\) ...
b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x-1}+x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{3x-1}{\sqrt{x^2+3x-1}-x}\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{3-\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}}-1}\right)=\dfrac{3-0}{-1-1}=-\dfrac{3}{2}\)
d.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x^2+3x}{\sqrt{4x^4+2x^2}+3x^2-1}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{2}{x^2}}+3-\dfrac{1}{x^2}}\)
\(=\dfrac{2+0}{\sqrt{4+0}+3-0}=\dfrac{2}{5}\)
a.
\(\lim\left(\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[]{n^2+n}\right)=\lim\left(\sqrt[3]{n^3+2}-n+n-\sqrt[]{n^2+n}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{2}{\sqrt[3]{\left(n^3+2\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3+n}+n^2}-\dfrac{n}{n+\sqrt[]{n^2+n}}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{2}{\sqrt[3]{\left(n^3+2\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3+2}+n^2}-\dfrac{1}{1+\sqrt[]{1+\dfrac{1}{n}}}\right)\)
\(=0-\dfrac{1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}\)
b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{3x-2}-2x}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt[]{x+2}-2+\sqrt[]{3x-2}-2-2x+4}{x-2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{x-2}{\sqrt[]{x+2}+2}+\dfrac{3\left(x-2\right)}{\sqrt[]{3x-2}+2}-2\left(x-2\right)}{x-2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(\dfrac{1}{\sqrt[]{x+2}+2}+\dfrac{3}{\sqrt[]{3x-2}+2}-2\right)=-1\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow T^2=\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{b}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(=2^2+4^2+2.\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\)
\(=20+2.2.4.cos120^0=12\)
\(\Rightarrow T=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)