K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

S
31 tháng 8

bài 1:

\(a.x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(b.x^3-\frac{1}{27}=\left(x-\frac13\right)\left(x^2+\frac13x+\frac19\right)\)

\(c.x^3-27y^3=\left(x-3y\right)\left(x^2+3xy+9y^2\right)\)

\(d.27x^3+8y^3=\left(3x+2y\right)\left(9x^2-6xy+4y^2\right)\)

bài 2:

\(a.A=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-x^3+2\)

\(=x^3+8-x^3+2=10\)

\(b.B=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^3-1\right)-\left(x^3+1\right)=-2\)

\(c.C=\left(2x-y\right)\left(4x^2+2xy+y^2\right)+\left(y-3x\right)\left(y^2+3xy+9x^2\right)\)

\(=\left(8x^3-y^3\right)+\left(y^3-27x^3\right)=-19x^3\)

bài 3:

\(a.A=\left(x-5\right)\left(x^2+5x+25\right)=x^3-125\)

thay x = 6 vào A ta được:

\(6^3-125=216-125=91\)

\(b.B=\left(3x-2\right)\left(9x^2+6x+4\right)=27x^3-8\)

thay x = 10/3 vào B ta được:

\(27\cdot\left(\frac{10}{3}\right)^3-8=992\)

\(c.C=\left(2x-3y\right)\left(4x^2+6xy+9y^2\right)=8x^3-27y^3\)

thay x = 5; y = 5/3 vào C ta được

\(8\cdot5^3-27\cdot\left(\frac53\right)^3=875\)

S
31 tháng 8

bài 4:

\(a.\left(2x-5\right)\left(4x^2+10x+25\right)-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=\left(2x-5\right)\left\lbrack\left(2x\right)^2+\left(2x\right)\cdot5+5^2\right\rbrack-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=\left(2x\right)^3-5^3-\left(x^3+3^3\right)\)

\(=8x^3-125-\left(x^3+27\right)=7x^3-152\)

\(b.\left(2y-1\right)\left(4y^2+2y+1\right)+\left(3-y\right)\left(9+3y+y^2\right)+y\left(2-7y^2\right)\)

\(=\left(2y-1\right)\left\lbrack\left(2y\right)^2+\left(2y\right)\cdot1+1^2\right\rbrack+\left(3-y\right)\left(3^2+3y+y^2\right)+2y-7y^3\)

\(=\left(2y\right)^3-1^3+\left(3^3-y^3\right)+2y-7y^3\)

\(=8y^3-1+27-y^3+2y-7y^3=2y+26\)

bài 5:

\(a.A=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=\left(x^3+1\right)-\left(x^3+27\right)=-26\)

\(b.B=\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)+\left(5-y\right)\left(25+5y+y^2\right)\)

\(=\left(y^3+8\right)+\left(125-y^3\right)=133\)

\(c.C=4\cdot\left(x^3-8\right)-4\cdot\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\)

\(=4\cdot\left(x^3-2^3\right)-4\cdot\left(x^3+2^3\right)\)

\(=4x^3-32-4x^3-32=-64\)

\(d.D=\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)-\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)-8\cdot\left(2y^3+1\right)\)

\(=\left(x^3+8y^3\right)-\left(x^3-8y^3\right)-8\cdot\left(2y^3+1\right)=16y^3-16y^3-8=-8\)

S
31 tháng 8

theo đề ta có: \(x+y+z=0\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\cdot\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\left(1\right)\)

ta co: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

mà x + y + z = 0

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\left(2\right)\)

a. VT = \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)+2xyz\cdot\left(x+y+z\right)\)

vì x+y+z=0 nên: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

từ (1) ta có: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)^{}\right\rbrack^2\) (*)

\(=4\cdot\left(xy+yz+zx\right)^2=4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

ta có: \(4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

mà: \(2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4\)

thay vào (*) ta được:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(=x^4+y^4+z^4+x^4+y^4+z^4=2\cdot\left(x^4+y^4+z^4\right)=VP\)

⇒ đpcm

b. \(VT=5\cdot\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=5\cdot\left(3xyz\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=15xyz\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (3)

\(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)

\(x^5+y^5+z^5=x^5+y^5+\left\lbrack-\left(x+y\right)\right\rbrack^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5\)

\(=x^5+y^5-\left(x^5+5y^4+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)

\(=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)

\(=-5xy\left\lbrack x^3+y^3+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+Y\right)+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+Y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left(x+Y\right)\left\lbrack\left(x+y\right)^2-xy\right\rbrack\)

vì x+y=-z nên ta có:

\(x^5+y^5+z^5=-5xy\left(-z\right)\left\lbrack\left(-z\right)^2-xy\right\rbrack=5xyz\left(x^2-zy\right)\)

mặt khác \(x+y=-z\Rightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2+y^2+x^2+2xy+y^2=2\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(z^2-xy=\left(x+y\right)^2-xy=x^2+2xy+y^2-xy=x^2+xy+y^2\)

vậy \(x^5+y^5+z^5=5xyz\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)=\frac52xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(6\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=15xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (4)

từ (3) và (4) ⇒ VT = VP

S
31 tháng 8

câu c: phần này đã được chứng minh nằm trong câu b nha bạn

S
31 tháng 8

theo đề ta có: \(x+y+z=0\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\cdot\left(xy+yz+zx\right)=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\left(1\right)\)

ta co: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

mà x + y + z = 0

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\left(2\right)\)

a. VT = \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

ta có: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)+2xyz\cdot\left(x+y+z\right)\)

vì x+y+z=0 nên: \(\left(xy+yz+zx\right)^2=\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

từ (1) ta có: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)^{}\right\rbrack^2\) (*)

\(=4\cdot\left(xy+yz+zx\right)^2=4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

ta có: \(4\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

mà: \(2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=x^4+y^4+z^4\)

thay vào (*) ta được:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left(x^4+y^4+z^4\right)+2\cdot\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

\(=x^4+y^4+z^4+x^4+y^4+z^4=2\cdot\left(x^4+y^4+z^4\right)=VP\)

⇒ đpcm

b. \(VT=5\cdot\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=5\cdot\left(3xyz\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(=15xyz\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (3)

\(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)

\(x^5+y^5+z^5=x^5+y^5+\left\lbrack-\left(x+y\right)\right\rbrack^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5\)

\(=x^5+y^5-\left(x^5+5y^4+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)

\(=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)

\(=-5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)\)

\(=-5xy\left\lbrack x^3+y^3+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+Y\right)+2xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left\lbrack\left(x+Y\right)^3-xy\left(x+y\right)\right\rbrack\)

\(=-5xy\left(x+Y\right)\left\lbrack\left(x+y\right)^2-xy\right\rbrack\)

vì x+y=-z nên ta có:

\(x^5+y^5+z^5=-5xy\left(-z\right)\left\lbrack\left(-z\right)^2-xy\right\rbrack=5xyz\left(x^2-zy\right)\)

mặt khác \(x+y=-z\Rightarrow\left(x+y\right)^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=z^2\)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+\left(x+y\right)^2\)

\(=x^2+y^2+x^2+2xy+y^2=2\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(z^2-xy=\left(x+y\right)^2-xy=x^2+2xy+y^2-xy=x^2+xy+y^2\)

vậy \(x^5+y^5+z^5=5xyz\cdot\left(x^2+xy+y^2\right)=\frac52xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(6\cdot\left(x^5+y^5+z^5\right)=15xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\) (4)

từ (3) và (4) ⇒ VT = VP

S
31 tháng 8

câu c: phần này đã được chứng minh nằm trong câu b nha bạn

19 tháng 8

trình


Bài 5:

a: \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2\)

\(=x^3+y^3\)

b: \(M=x^3+y^3+3xy\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3xy\)

\(=1^3-3xy+3xy=1\)

\(N=x^3+y^3+3xy\left(x^2+y^2\right)+6x^2y^2\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+3xy\left\lbrack\left(x+y\right)^2-2xy\right\rbrack+6x^2y^2\)

\(=1^3-3xy\cdot1+3xy\left\lbrack1+2xy\right\rbrack-6x^2y^2\)

=1-3xy+3xy\(+6x^2y^2-6x^2y^2\)

=1

Bài 4:

a: \(\left(x-2\right)^3-x\left(x+1\right)\left(x-1\right)+6x^2=5\)

=>\(x^3-6x^2+12x-8-x\left(x^3-1\right)+6x^2=5\)

=>\(x^3+12x-8-x^3+x=5\)

=>13x-8=5

=>13x=13

=>x=1

b: \(\left(x-2\right)^3-x^2\left(x-6\right)=4\)

=>\(x^3-6x^2+12x-8-x^3+6x^2=4\)

=>12x-8=4

=>12x=12

=>x=1

c: \(\left(x+3\right)^3-x\left(3x+1\right)^2+\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)=28\)

=>\(x^3+9x^2+27x+27-x\left(9x^2+6x+1\right)+8x^3+1=28\)

=>\(9x^3+9x^2+27x+28-9x^3-6x^2-x=28\)

=>\(3x^2+26x=0\)

=>x(3x+26)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ 3x+26=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{26}{3}\end{array}\right.\)

d: \(\left(x^2-1\right)^3-\left(x^2-1\right)\left(x^4+x^2+1\right)=0\)

=>\(x^6-3x^4+3x^2-1-\left(x^6-1\right)=0\)

=>\(-3x^4+3x^2=0\)

=>\(-3x^2\left(x^2-1\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x^2=0\\ x^2=1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right.\)

e: \(\left(x+1\right)^3+\left(x-2\right)^3-2x^2\left(x-\frac32\right)=3\)

=>\(x^3+3x^2+3x+1+x^3-6x^2+12x-8-2x^3+3x^2=3\)

=>15x-7=3

=>15x=10

=>\(x=\frac{10}{15}=\frac23\)

f: \(\left(x+1\right)^3-\left(x-1\right)^3-6\left(x-1\right)^2=-10\)

=>\(x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1-6\left(x^2-2x+1\right)=-10\)

=>\(6x^2+2-6x^2+12x-6=-10\)

=>12x-4=-10

=>12x=-6

=>\(x=-\frac{6}{12}=-\frac12\)

Bài 3:

a: \(A=x^3+12x^2+48x+64\)

\(=x^3+3\cdot x^2\cdot4+3\cdot x\cdot4^2+4^3=\left(x+4\right)^3\)

Khi x=6 thì \(A=\left(6+4\right)^3=10^3=1000\)

b: \(B=x^3-6x^2+12x-8\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2-2^3\)

\(=\left(x-2\right)^3\)

Khi x=22 thì \(B=\left(22-2\right)^3=20^3=8000\)

c: \(C=8x^3-12x^2+6x-1\)

\(=\left(2x\right)^3-3\cdot\left(2x\right)^2\cdot1+3\cdot2x\cdot1^2-1^3\)

\(=\left(2x-1\right)^3\)

Thay x=25,5 vào C, ta được:

\(C=\left(2\cdot25,5-1\right)^3=50^3=125000\)

d: \(D=1-x+\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{27}\)

\(=1^3-3\cdot1^2\cdot\frac13x+3\cdot1\cdot\left(\frac13x\right)^3-\left(\frac13x\right)^3=\left(1-\frac13x\right)^3\)

Thay x=-27 vào D, ta được:

\(D=\left\lbrack1-\left(-\frac13\right)\cdot27\right\rbrack^3=10^3=1000\)

e: \(E=\frac{x^3}{y^3}+\frac{6x^2}{y^2}+12\cdot\frac{x}{y}+8\)

\(=\left(\frac{x}{y}\right)^3+3\cdot\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot2+3\cdot\frac{x}{y}\cdot2^2+2^3\)

\(=\left(\frac{x}{y}+2\right)^3\)

Thay x=36;y=2 vào D, ta được:

\(D=\left(\frac{36}{2}+2\right)^3=\left(18+2\right)^3=20^3=8000\)

Bài 2:

a: \(x^3-3x^2+3x-1\)

\(=x^3-3\cdot x^2\cdot1+3\cdot x\cdot1^2-1^3=\left(x-1\right)^3\)

b: \(8-12x+6x^2-x^3=2^3-3\cdot2^2\cdot x+3\cdot2\cdot x^2-x^3=\left(2-x\right)^3\)

c: \(27+27x+9x^2+x^3\)

\(=x^3+3\cdot x^2\cdot3+3\cdot x\cdot3^2+3^3\)

\(=\left(x+3\right)^3\)

d: \(\left(x-y\right)^3+\left(x-y\right)^2+\frac13\left(x-y\right)+\frac{1}{27}\)

\(=\left(x-y\right)^3+3\cdot\left(x-y\right)^2\cdot\frac13+3\cdot\left(x-y\right)\cdot\left(\frac13\right)^2+\left(\frac13\right)^3\)

\(=\left(x-y+\frac13\right)^3\)

a: Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

b: AEDF là hình chữ nhật

=>DF//AE và DF=AE

DF//AE

=>GF//AE
Ta có DF=AE

DF=FG

Do đó: GF=AE

Xét tứ giác AEFG có

AE//FG

AE=FG

Do đó: AEFG là hình bình hành

c: AEDF là hình chữ nhật

=>AD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

mà H là trung điểm của AD

nên H là trung điểm của FE

AEDF là hình chữ nhật

=>AD=FE
\(HA=HD=\frac{AD}{2};HF=HE=\frac{EF}{2}\)

nên \(HA=HD=HF=HE=\frac{EF}{2}=\frac{AD}{2}\)

HI=HF

\(HF=HA\)

\(HA=\frac{AD}{2}\)

Do đó: \(IH=\frac{AD}{2}\)

Xét ΔIAD có

IH là đường trung tuyến

\(IH=\frac{AD}{2}\)

Do đó: ΔIAD vuông tại I

=>IA⊥ID

a: ta có: EI⊥BF

AC⊥BF

Do đó: EI//AC

=>\(\hat{IEB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{KBE}=\hat{IEB}\)

Xét ΔKBE vuông tại K và ΔIEB vuông tại I có

BE chung

\(\hat{KBE}=\hat{IEB}\)

Do đó: ΔKBE=ΔIEB

=>EK=BI

b: Điểm D ở đâu vậy bạn?

1: Xét ΔBAC có KI//AC

nên \(\frac{BK}{BA}=\frac{BI}{BC}\)

Xét ΔBAC có IE//AB

nên \(\frac{CE}{CA}=\frac{CI}{CB}\)

ta có: \(\frac{BK}{BA}+\frac{CE}{CA}\)

\(=\frac{BI}{BC}+\frac{CI}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)

2: Qua M, kẻ MG//IE(G∈AC)

=>DE//MG

Xét ΔAMG có DE//MG

nên \(\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{MG}\)

=>\(\frac{DE}{AE}=\frac{MG}{AG}\)

ta có: MG//IE

IE//AB

Do đó: MG//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MG//AB

Do đó: G là trung điểm của AC

=>GA=GC

=>\(\frac{DE}{AE}=\frac{MG}{AG}=\frac{MG}{CG}\)

Xét ΔCAB có MG//AB

nên \(\frac{MG}{AB}=\frac{CG}{AC}\)

=>\(\frac{MG}{CG}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{DE}{AE}=\frac{AB}{AC}\)

c:

Xét tứ giác AKIE có

AK//IE

AE//KI

Do đó: AKIE là hình bình hành

=>KI=AE: AK=IE

Xét ΔBAC có KI//AC
nên \(\frac{BK}{BA}=\frac{KI}{AC}\)

=>\(\frac{BK}{KI}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{DE}{AE}=\frac{BK}{KI}\)

mà AE=KI

nên DE=BK

a: \(x^2+8x+16=x^2+2\cdot x\cdot4+4^2=\left(x+4\right)^2\)

b: \(9x^2-24x+16=\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot4+4^2=\left(3x-4\right)^2\)

c: \(x^2-3x+\frac94=x^2-2\cdot x\cdot\frac32+\left(\frac32\right)^2=\left(x-\frac32\right)^2\)

d: \(4x^2y^4-4xy^3+y^2\)

\(=\left(2xy^2\right)^2-2\cdot2xy^2\cdot y+y^2\)

\(=\left(2xy^2-y\right)^2\)

e: \(\left(x-2y\right)^2-4\left(x-2y\right)+4\)

\(=\left(x-2y\right)^2-2\cdot\left(x-2y\right)\cdot2+2^2\)

\(=\left(x-2y-2\right)^2\)

f: \(\left(x+3y\right)^2-12xy\)

\(=x^2+6xy+9y^2-12xy\)

\(=x^2-6xy+9y^2=\left(x-3y\right)^2\)