Question

[tth_new]

Giúp em với mọi người ơi...Bài này em không làm bằng phương pháp S*O*S hoặc dùng Cô si (AM-GM) như bình thường được rồi.

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b +c = 3. Chứng minh rằng:

\(A=\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Ta có 

\(\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{a^2+ab^2-ab^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)

Khi đó 

\(A\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ac\right)\)

Mà \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)

=> \(A\ge\frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)( ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Answer 2

[Trần Phúc Khang]

\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\)

Do \(a+b^2\ge2b\sqrt{a}\)

\(a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{b\sqrt{a}}{2}\ge a-\frac{1}{4}b\left(a+1\right)\)

Do \(\sqrt{a}\le\frac{a+1}{2}\)