Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(I\right)\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17\end{cases}\)
Ta thấy x=0 không thỏa mãn hệ (I).Đặt y=tx ta đc
\(\left(II\right)\begin{cases}x^2\left(3+2t+t^2\right)=11\left(1\right)\\x^2\left(1+2t+3t^2\right)=17\left(2\right)\end{cases}\)
Suy ra \(\frac{1+2t+3t^2}{3+2t+t^2}=\frac{17}{11}\Leftrightarrow4t^2-3t-10=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-\frac{5}{4}\end{array}\right.\)
Vậy hệ (I) có bốn nghiệm là: \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right),\left(-1;-2\right),\left(\frac{4}{\sqrt{3}};-\frac{5}{\sqrt{3}}\right),\left(-\frac{4}{\sqrt{3}};\frac{5}{\sqrt{3}}\right)\)
\(\begin{cases}2^x-2=3y-3^x\\2^y-2=3x-3^y\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}2^x+3^x=3y+2\\2^y+3^y=3x+2\end{cases}\)
Từ đó suy ra để (x;y) là nghiệm của hệ thì \(x>-\frac{2}{3}\) và\(y>-\frac{2}{3}\)
Xét hàm số :
\(f\left(t\right)=2^t+3^t\) có \(f'\left(t\right)=2^t.\ln2+3^t.\ln3>0\) với mọi \(t\in\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
Vậy hàm số f đồng biến trên \(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
* Nếu \(x>y\) thì \(3x+2>3y+2\Rightarrow f\left(y\right)>f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) mâu thuẫn
* Nếu \(x< y\) thì \(3x+2< 3y+2\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) mâu thuẫn
Suy ra \(x=y\), ta có hệ tương đương :
\(\begin{cases}x=y\\2^x+3^x=3x+2\left(1\right)\end{cases}\)
Xét \(g\left(t\right)=2^t+3^t-3t-2\), ta có
\(g"\left(t\right)=2^t.\ln^22+3^t\ln^23>0\)
nên \(g'\left(t\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm
Suy ra \(g\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm
Như vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : \(x=1;x=0\)
Vậy hệ phương trình đã cho : \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right);\left(1;1\right)\)
Tích chéo 2 hpt ta có:
\(6x^4-6y^4=15 x^3y-15y^3x\)
<=>\(6x^4-6y^4-15x^3y+15y^3x=0\)
<=> \(6(x^2-y^2)(x^2+y^2)-15xy (x^2-y^2)=0\)
<=>\((x^2-y^2)(6x^2+6y^2+15)=0\)
=> x2=y2
=> x=y hoặc x=-y
(*)x=y=>vô nghiệm
(*)x=-y=> vô no
Vậy hpt vô nghiệm
