Question

[nguyen thi hong tham]

Giải pt : \(x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)

Answer 1

[Mr Lazy]

\(VP\ge0\Rightarrow VT\ge0\Rightarrow x>0\text{ }\left(do\text{ }x\ne0\right)\)

\(\text{pt}\Leftrightarrow\frac{1}{x}.\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}.\frac{1}{x}=1\)

+Chứng minh bất đẳng thức \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

Bất đẳng thức trên luôn đúng vì thu gọn ta được \(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(ay=bx\)

Áp dụng 

\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}.\frac{1}{x}\right)^2\le\left[\frac{1}{x}+\left(1-\frac{1}{x}\right)\right].\left[\left(1-\frac{1}{x^2}\right)+\frac{1}{x^2}\right]=1\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}=\frac{x^2-1}{x^2}.\frac{x-1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)=1\Leftrightarrow x^3-x^2-x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-x-1\right)=0\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ }\left(x>0\right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Trọng Đức]

Thôi thôi em sợ rồi