Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{7x+4}{\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}+\frac{2\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2\left(x+1\right)}}=3+\frac{3\sqrt{2x+1}}{\sqrt{x-1}}\)
\(\Leftrightarrow7x+4+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)}=3\sqrt{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+3\sqrt{2\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(7x+4+\sqrt{8x^2-4x-4}\right)^2=\left(\sqrt{18x^2-18}+\sqrt{36^2+54x+18}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(7x+4\right)^2+8x^2-4x-4+2\left(7x+4\right)\sqrt{8x^2-4x-4}\)\(=18x^2-18+36x^2+54x+18+2\sqrt{\left(18x^2-18\right)\left(36x^2+54x+18\right)}\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2x+12+4\left(7x+4\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}=36\left(x+1\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow3x^2-2x+12=4\left(2x+5\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^2-2x+12\right)^2=16\left(2x+5\right)^2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow119x^4+588x^3+1940x^2-672x-544=0\left(1\right)\)
Ta thấy x>1 => Vế trái (1) \(>119.1^4+588.1^3+1940.1^2-672.1-544=1431>0\)
=> pt vô nghiệm.
a) \(4\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}< 2x+\frac{1}{2x}+2\)
hay \(2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}< x+\frac{1}{4x}+1\)
\(\Leftrightarrow0< x+\frac{1}{4x}+1-2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow0< \left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cdot1+1+\frac{1}{\left(2\sqrt{x}\right)^2}-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Leftrightarrow1< \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\\sqrt{x}>1\\2\sqrt{x}>1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>\frac{1}{4}\end{cases}\Rightarrow}x>1}\)
b) \(\frac{1}{1-x^2}>\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}-1\left(1\right)\left(ĐK:-1< x< 1\right)\)
Ta có (1) <=> \(\frac{1}{1-x^2}-1-\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}+2>0\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1-x^2}-\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}+2>0\)
Đặt \(t=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)ta được
\(t^2-3t+2>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}< 1\\\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}>2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{1-x^2}>x\left(a\right)\\2\sqrt{1-x^2}< x\left(b\right)\end{cases}}}\)
(a) <=> \(\hept{\begin{cases}x< 0\\1-x^2>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\1-x^2>x^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow-1< x< 0\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2< \frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow-1< x< 0\)hoặc \(0\le x\le\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow-1< x< \frac{\sqrt{2}}{2}\)
(b) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x^2>0\\x>0\\4\left(1-x^2\right)< x^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0< x< 1\\x^2>\frac{4}{5}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{2}{\sqrt{5}}< x< 1}\)
Điều kiện \(x^2-2x\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) khi đó :
Bất phương trình \(\Leftrightarrow3^{\sqrt{x^2-2x}}\ge\left(3\right)^{\sqrt{\left(x-1\right)^2}-x}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}\ge\left|x-1\right|-x\)
- Khi \(x\ge2\Rightarrow x-1>0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge-1\) đúng với mọi \(x\ge2\)
- Khi \(x\le0\Rightarrow x-1< 0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge1-2x\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x\ge1-4x+4x^2\\x\le0\end{cases}\) vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = [2;\(+\infty\) )
\(TXĐ:D=R\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2+1^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(\sqrt{3}x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}=3\sqrt{2}\left(1\right)\)
Chọn \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{u}=\left(1;1-2x\right)\\\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3}x+1;x+1\right)\\\overrightarrow{w}=\left(1-\sqrt{3}x;x+1\right)\end{cases}}\)\(\Rightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(3;3\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right|=3\sqrt{2}\)(2)
Ta có: \(\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right|\le\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|+\left|\overrightarrow{w}\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2+1^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(\sqrt{3}x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\ge3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\)cùng hướng
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}\)cùng hướng
\(\Leftrightarrow\exists k,l>0\hept{\begin{cases}\overrightarrow{v}=k.\overrightarrow{u}\\\overrightarrow{v}=l.\overrightarrow{w}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{3}x+1=k.1;x+1=k\left(1-2x\right)\\\sqrt{3}x+1=l\left(1-\sqrt{3}x\right);x+1=l\left(x+1\right)\end{cases}}\)
Vậy x = 0
\(\begin{cases}y^2-x\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}=2x-2\left(1\right)\\\sqrt{y^2+1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện \(x>0\)
Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \(x\) ta được :
\(\frac{y^2+2}{x}-\sqrt{\frac{y^2+2}{x}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=-1}\\\sqrt{\frac{y^2+2}{x}=2}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{y^2+2}{x}=4\)
\(\Leftrightarrow y^2=4x+2\)
Thế vào phương trình (2) ta được : \(\sqrt{4x-1}+\sqrt[3]{2x-1}=1\)
Đặt \(\sqrt{4x-1}=u,\left(u\ge0\right),\sqrt[3]{2x-1}=v\) ta có hệ : \(\begin{cases}u+v=1\\u^2-2v^3=1\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(u=1;v=0\Rightarrow x=\frac{1}{2};y=0\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(x=\frac{1}{2};y=0\)