Question

[Đoàn Thị Thu Hương]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

a, \(4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x}\)

b. \(x^2-5x+7=3^y\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

a, Ta có  \(199-x^2-2x=200-\left(x+1\right)^2\le200\to4y^2-2=\sqrt{199-x^2-2x}\le\sqrt{200}<15.\)  
Vì vậy \(4y^2<17\to4y^2\le16\to y^2\le4\to-2\le y\le2.\) (Do  \(x,y\) là số nguyên). 

Vậy có ba trường hợp:

  TH1. Nếu \(y=0\to0=2+\sqrt{199-x^2-2x}\)  (mâu thuẫn). 

  TH2. Nếu \(y=\pm1\to4=2+\sqrt{199-x^2-2x}\to4=200-\left(x+1\right)^2\to\left(x+1\right)^2=196\) 
\(\to x+1=\pm14\to x=13,-15.\)  
Vậy ta thu được 4 nghiệm là \(\left(13,\pm1\right),\left(-15,\pm1\right)\).

 TH2. Nếu \(y=\pm2\to16=2+\sqrt{199-x^2-2x}\to196=200-\left(x+1\right)^2\to\left(x+1\right)^2=4\) 
\(\to x+1=\pm2\to x=1,-3.\)

Vậy ta thu được 4 nghiệm là \(\left(1,\pm2\right),\left(-3,\pm2\right)\).

Tóm lại phương trình có 8 nghiệm nguyên là \(\left(13,\pm1\right),\left(-15,\pm1\right)\)\(,\left(1,\pm2\right),\left(-3,\pm2\right)\).

b.  Đầu tiên ta thấy nếu \(y<0\to3^y=\frac{1}{3^{-y}}\)  không phải là số nguyên. Vậy \(y\ge0.\)  Nếu \(y\ge2\to3^y\vdots9\to x^2-5x+7\vdots9\to4x^2-20x+28\vdots9\to\left(2x-5\right)^2+3\vdots9.\) Đặc biệt ta suy ra \(\left(2x-5\right)^2\vdots3\to2x-5\vdots3\to\left(2x-5\right)^2\vdots9.\)   Mà \(\left(2x-5\right)^2+3\vdots9\to3\vdots9,\)  vô lí.

Do vậy mà \(y<2\to y=0,1.\)

Với \(y=0\to x^2-5x+7=1\to x^2-5x+6=0\to x=2,3.\)

Với \(y=1\to x^2-5x+7=3\to x^2-5x+4=0\to x=1,4.\)

Tóm lại phương trình sẽ có 4 nghiệm nguyên là \(\left(x,y\right)=\left(2,0\right),\left(3,0\right),\left(1,1\right),\left(4,1\right).\)