Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình giải mẫu pt đầu thôi nhé, những pt sau ttự.
1,\(x^4-\frac{1}{2}x^3-x^2-\frac{1}{2}x+1=0\)
Ta thấy x=0 ko là nghiệm.
Chia cả 2 vế cho x2 >0:
pt\(\Leftrightarrow x^2-\frac{1}{2}x-1-\frac{1}{2x}+\frac{1}{x^2}=0\)
Đặt \(t=x-\frac{1}{x}\left(t\in R\right)\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2+2\)
pt\(\Leftrightarrow t^2-\frac{1}{2}t+1=0\)(vô n0)
Vậy pt vô n0.
#Walker
Từ pt ta có: \(-\left(1+x^4\right)=\text{ax}^3+bx^2+cx\)
Áp dụng BĐT B.C.S:
\(\left(1+x^4\right)^2=\left(\text{ax}^3+bx^2+cx\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^6+x^4+x^2\right)\)\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\frac{\left(1+x^4\right)^2}{x^6+x^4+x^2}\ge\frac{4}{3}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\left(1+2x^4+x^8\right)\ge4\left(x^6+x^4+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^8-4x^6+2x^4-4x^2+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2\left(3x^4+2x^2+3\right)\ge0\)(luôn đúng)
Từ 1 và 2 : \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{4}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=c=\frac{2}{3}\left(x=1\right)\\a=b=c=\frac{-2}{3}\left(x=-1\right)\end{cases}}\)
Mình giải câu BPT, câu pt là 1 phần nhỏ của nó, bạn tự giải:
- Với \(x=0\Rightarrow\frac{1}{16}\ge0\) (thỏa mãn) là 1 nghiệm của BPT
- Với \(x\ne0\Rightarrow x^2>0\) BPT tương đương:
\(\frac{\left(x^2+3x+\frac{1}{4}\right)\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)}{x^2}\ge12\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{4x}+3\right)\left(x+\frac{1}{4x}-1\right)\ge12\)
Đặt \(x+\frac{1}{4x}-1=t\)
\(\Leftrightarrow\left(t+4\right)t\ge12\Leftrightarrow t^2+4t-12\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)
TH1: \(t\ge2\Leftrightarrow x+\frac{1}{4x}-3\ge0\Leftrightarrow\frac{4x^2-12x+1}{4x}\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}0< x\le\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x\ge\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(t\le-6\Leftrightarrow x+\frac{1}{4x}+5\le0\Leftrightarrow\frac{4x^2+20x+1}{4x}\le0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le\frac{-5-2\sqrt{6}}{2}\\\frac{-5+2\sqrt{6}}{2}\le x< 0\end{matrix}\right.\)
Kết hợp lại ta được nghiệm của BPT: \(\left[{}\begin{matrix}x\le\frac{-5-2\sqrt{6}}{2}\\\frac{-5+2\sqrt{6}}{2}\le x\le\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\\x\ge\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)