Question

[Ngô Ngọc Anh]

Giải hệ phương trình sau:

\(\hept{\begin{cases}y^2-y(\sqrt{x-1}+1)+\sqrt{x-1}=0\\x^2+y-\sqrt{7x^2-3}=0\end{cases}}\)

Các anh chị giúp em với ạ! Em cảm ơn!

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

 \(ĐK:x\ge1\)

Pt (1)  <=> \(y^2-y\sqrt{x-1}-y+\sqrt{x-1}=0\)

<=> \(\left(y^2-y\right)-\left(y\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=0\right)\)

<=> \(y\left(y-1\right)-\sqrt{x-1}\left(y-1\right)=0\)

<=> \(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{x-1}\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-1=0\\y-\sqrt{x-1}=0\end{cases}}\)

+) Với y-1=0 <=> y=1

Thế vào phương trình thứ (2) ta có: \(x^2+1-\sqrt{7x^2-3}=0\Leftrightarrow7x^2+7-7\sqrt{7x^2-3}=0\)

Đặt \(\sqrt{7x^2-3}=t\left(t\ge0\right)\)

Ta có phương trình ẩn t:

\(t^2-7t+10=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=2\\t=5\end{cases}}\)

Với t =2 ta có: \(\sqrt{7x^2-3}=2\Leftrightarrow7x^2-3=4\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x=-1\left(l\right)\end{cases}}\)

Với t=5 ta có: \(\sqrt{7x^2-3}=5\Leftrightarrow7x^2-3=25\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(tm\right)\\x=-2\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy hệ có 2nghiem (x,y) là (2,1) và (1, 1)

+) Với \(y-\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow y=\sqrt{x-1}\)

Thế vào phương trình (2) ta có:

\(x^2+\sqrt{x-1}-\sqrt{7x^2-3}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)+\left(x^2+1-\sqrt{7x^2-3}\right)=0\)

<=> \(\frac{\left(x-1\right)-1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{x^4+2x^2+1-7x^2+3}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\)

<=> \(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\)

<=> \(\left(x-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}\right)=0\)

vì \(\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}>0\)với mọi lớn hơn hoặc bằng 1

phương trình trên <=> x-2=0<=> x=2 thỏa mãn đk

Với x=2 ta có: \(y=\sqrt{2-1}=1\)

Hệ có 1nghiem (2,1)

Kết luận:... (2, 1), (1,1)

Answer 2

[Ngô Ngọc Anh]

Em cảm ơn chị Nguyễn Linh Chi nhiều ạ!