Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: \(\left\{{}\begin{matrix}x^5+xy^4=y^{10}+y^6\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\end{matrix}\right.\)
ĐK: \(x\ge-\dfrac{5}{4}\)
Nếu \(y=0\Rightarrow\) Hệ đã cho vô nghiệm
Nếu \(y\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^5+xy^4=y^{10}+y^6\left(1\right)\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\), ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^5}{y^5}+\dfrac{x}{y}=y^5+y\)
\(\Leftrightarrow t^5+t=y^5+y\)
\(\Leftrightarrow\left(y-t\right)\left(y^4+ty^3+t^2y^2+t^3y+y^4\right)=0\)
Dễ chứng minh được \(y^4+ty^3+t^2y^2+t^3y+y^4\ne0\) nên \(y=t\Leftrightarrow x=y^2\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\)
Đến đây dễ rồi, bình phương hai vế giải tiếp rồi kết luận.
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}9y-5\ge0\\x+y\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge\dfrac{5}{9}\\x+y\ge0\end{matrix}\right.\).
Phương trình (1) tương đương với:
\(\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)-\left(x+y\right)+2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)-\left(x^2+y^2\right)+x^2+y^2-\left(x+y\right)+2xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-1\right)+\left(x+y\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2+x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x^2+y^2+x+y=0\end{matrix}\right.\)
- Với \(x^2+y^2+x+y=0\) có \(x+y=0\) (theo điều kiện)
suy ra \(x=y=0\) (không thỏa mãn).
- Với \(x+y-1=0\Leftrightarrow y=1-x\) thế vào phương trình (2) ta được:
\(x^2+11x+6=2\sqrt{9\left(1-x\right)-5}+\sqrt{1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+5-2\sqrt{14-9x}=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+11x+5\right)^2=4\left(14-9x\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+22x^3+131x^2+146x-31=0\)
Bạn giải phương trình trên, thử lại ta được nghiệm của bài toán.
Đáp án ra số khá xấu nên thầy không ghi ra đây.
Em có thể tham khảo cách làm nhé.
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0\\\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-\sqrt{y}\\\sqrt{x}=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)
cái đầu tiên loại vì x=y=0 không phải là nghiệm của hệ
suy ra x=2y thày vào pt(2) ta thấy 0 = 1 vô lý
vậy pt vô nghiệm
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=0\\x^2+y^2+\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=-x\left(x^2+y^2\right)\\-\left(x^2+y^2\right)=\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-4\right)\left(y+2\right)=x\left(x+y-2\right)\left(y+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=0\left(\text{không thỏa mãn}\right)\\x^2+y^2-4=x\left(x+y-2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4=x^2+x\left(y-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y-2\right)=x\left(y-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\x=y+2\end{matrix}\right.\)
Thế vào pt dưới:
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+8+2x+2x-4=0\\\left(y+2\right)^2+2y^2+y\left(y+2\right)+2\left(y+2\right)-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Câu b chắc chắn đề sai, nhìn 2 vế pt đầu đều có \(x^2\) thì chúng sẽ rút gọn, không ai cho đề như thế hết
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+y}=a\ge0\\\sqrt{x+y-4}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=a^2\\x+y=b^2+4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a^2-b^2-4\\y=-a^2+2b^2+8\end{matrix}\right.\)
Ta được hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=19\\a-3\left(a^2-b^2-4\right)+5\left(-a^2+2b^2+8\right)=-8\end{matrix}\right.\)
Tới đây chắc là đơn giản rồi đúng không? Thế trên xuống dưới là xong thôi
Lời giải:
Dễ thấy $y=0$ không phải một nghiệm thỏa mãn
\(\Rightarrow y\neq 0\)
\(x^5+xy^4=y^{10}+y^6\Leftrightarrow x(x^4+y^4)=y^{10}+y^6>0\)
\(\Rightarrow x>0\)
Từ PT(1) \(\Rightarrow x^5+xy^4-(y^{10}+y^6)=0\)
\(\Leftrightarrow (x^5-y^{10})+(xy^4-y^6)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^4+x^3y^2+x^2y^4+xy^6+y^8)+y^4(x-y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y^2)(x^4+x^3y^2+x^2y^4+xy^6+y^8+y^4)=0\)
Với mọi $x>0; y\neq 0$ ta luôn có:
\(x^4+x^3y^2+x^2y^4+xy^6+y^8+y^4>0\)
Do đó \(x-y^2=0\Rightarrow x=y^2\)
Thay vào PT(2):
\(\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}-3)+(\sqrt{x+8}-3)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{4(x-1)}{\sqrt{4x+5}+3}+\frac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)\left(\frac{4}{\sqrt{4x+5}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+8}+3}\right)=0\)
Hiển nhiên biểu thức trong " ngoặc lớn" lớn hơn $0$
\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\) (thỏa mãn)
\(\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1\)
Vậy \((x,y)=(1,\pm 1)\)