Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1.
Điều kiện: \(x^2\ge2y+1\)
Từ $(1)$ ta được \(\left(x^2-2y\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2y\left(L\right)\\x=y\end{matrix}\right.\)
Khi đó $(2)$ \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + \dfrac{{{x^3} - 14 - {{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \dfrac{{6{x^2} - 12x - 6}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} \left[ {1 + \dfrac{{3\sqrt {{x^2} - 2x - 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 1} = 0 \end{array} \)
Từ đó ta được \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=$\(\left\{\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)\right\}\)
Câu 2.
Điều kiện: \(y \ge 0,x \ge -2\)
Từ phương trình $(1)$ tương đương:
$$2\sqrt{x+y^2+y+3}=3\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$$
Ta có:
$$3\sqrt y + \sqrt {x + 2} = \sqrt 3 .\sqrt {3y} + 1.\sqrt {x + 2} \le 2\sqrt {3y + x + 2}$$
Ta chứng minh:
$$2\sqrt {3y + x + 2} \le 2\sqrt {x + {y^2} + y + 3} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$ và \(\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Rightarrow x=-1\)
Thay vào phương trình $(2)$ thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm hệ phương trình $(x;y)=(-1;1)$
b)\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}\right)^2=\left(3\left(x+y\right)\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)}=x^2+7xy+y^2\)
\(\Rightarrow\left(5x^2+2xy+2y^2\right)\left(2x^2+2xy+5y^2\right)=\left(x^2+7xy+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-y\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(1;1\right)\right\}\)
1)Điều kiện: \(x + y > 0\)\((1) \Leftrightarrow (x + y)^2 - 2xy + \dfrac{2xy}{x + y} - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x + y)^3 - 2xy(x + y) + 2xy -(x + y) = 0 \\ \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2- 1]-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x+y)(x+y+1)(x+y-1)-2xy(x+y-1)=0 \\ \Leftrightarrow (x + y - 1)[(x+y)(x + y + 1)-2xy] = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x + y = 1 \,\, (3) \\ x^2+y^2+x+y=0 \,\, (4) \end{matrix} \right.\)(4) vô nghiệm vì x + y > 0
Thế (3) vào (2) , giải được nghiệm của hệ :\((x =1 ; y = 0)\)và \((x = -2 ; y = 3)\)
\((1)\Leftrightarrow (x-2y)+(2x^3-4x^2y)+(xy^2-2y^3)=0\)\(\Leftrightarrow (x-2y)(1+2x^2+y^2)=0\)
\(\Leftrightarrow x=2y\)(vì \(1+2x^2+y^2>0, \forall x,y\))
Thay vào phương trình (2) giải dễ dàng.
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a^2\\y=b^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{2\left(a^2-b^2+1\right)^2+6\left(b^2-1\right)-2a^2+4}=a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2+1\right)^2+6b^2-2a^2-2=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)^2+4\left(a^2-b^2\right)+2+6b^2-2a^2-2=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2+2b^2=\left(a+b\right)^2\)
Ta có:
\(VT=2\left(a^2-b^2\right)^2+2a^2+2b^2\ge2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
\(\Leftrightarrow x=y+1\)
Thay vào pt đầu:
\(\sqrt{3-y}+\sqrt{y+8}=y^2+7y+6\)
\(\Leftrightarrow y^2+5y+1+\left(y+2-\sqrt{3-y}\right)+\left(y+3-\sqrt{y+8}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y^2+5y+1+\frac{y^2+5y+1}{y+2+\sqrt{3-y}}+\frac{y^2+5y+1}{y+3+\sqrt{y+8}}=0\)
ĐKXĐ: ....
Biến đổi pt dưới:
\(\Leftrightarrow x-y+2\sqrt{x-y}+1=8y-4\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-y}+1\right)^2=4\left(2y-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-y}+1=2\sqrt{2y-1}\) (1)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2y-1}=a\\\sqrt{x-y}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{a^2+2b^2+1}{2}\\y=\frac{a^2+1}{2}\end{matrix}\right.\) thế vào pt trên:
\(\left(\frac{a^2+2b^2+1}{2}+\frac{3a^2+3}{2}-1\right)b+\left(a^2+2b^2+1\right)a=8\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+2ab\left(a+b\right)+a+b=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-ab\left(a+b\right)+a+b=8\) (2)
Từ (1) ta có \(b+1=2a\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3a-1\\b=2a-1\end{matrix}\right.\)
Thế vào (2):
\(\left(3a-1\right)^3-\left(2a^2-a\right)\left(3a-1\right)+3a-1=8\)
\(\Leftrightarrow21a^3-22a^2+11a-10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(21a^2-a+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=1\Rightarrow\sqrt{2y-1}=1\Rightarrow y=1\Rightarrow x=1\)
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y-\sqrt{xy}=0\\\sqrt{x-1}-\sqrt{2y-1}=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\left(1\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=-\sqrt{y}\\\sqrt{x}=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)
cái đầu tiên loại vì x=y=0 không phải là nghiệm của hệ
suy ra x=2y thày vào pt(2) ta thấy 0 = 1 vô lý
vậy pt vô nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}-\sqrt{x-3y}=-1\\7x-5y=19+2\sqrt{x-y}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}=a\left(a\ge0\right)\\\sqrt{x-3y}=b\left(b\ge0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=-1\\\frac{7\left(3a^2-b^2\right)}{2}-\frac{5\left(a^2-b^2\right)}{2}=19+2a\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\7\left(2a^2-2a-1\right)+5\left(2a+1\right)=4a+38\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a+1\\14a^2-8a-40=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x-3y}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=4\\x-3y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\y=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
DKXĐ: \(x\ge y;x\ge3y\)
PT (1) \(\Leftrightarrow\sqrt{x-y}+1=\sqrt{x-3y}\)
\(\Leftrightarrow x-y+1+2\sqrt{x-y}=x-3y\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-y}=-\left(2y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y+1\le0\\4\left(x-y\right)=\left(2y+1\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{\left(4y^2+8y+1\right)}{4}\text{và }y\le-\frac{1}{2}\)
Thay vào PT (2) \(\Leftrightarrow\frac{7}{4}\left(4y^2+8y+1\right)-5y=19+2\sqrt{\frac{\left(4y^2+8y+1\right)}{4}-y}\)
Or: \(7\,{y}^{2}+9\,y-{\frac{69}{4}}=-(2y+1)\)
Do đó y = -5/2 hoặc 13/14 (loại)
Từ đó x = 3/2 và y =-5/2
P/s: Em không chắc lắm..