Question

[Thảo Phương]

Giai hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=x\\\frac{2z^2}{1+z^2}=z\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Dễ thấy vế trái của mỗi PT trong hệ đã cho đều dương nên $y,x,z>0$

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

$x^2+1\geq 2x\Rightarrow y=\frac{2x^2}{x^2+1}\leq \frac{2x^2}{2x}$ hay $y\leq x(1)$

Hoàn toàn tương tự:

$z=\frac{2y^2}{y^2+1}\leq y(2)$

$x=\frac{2z^2}{z^2+1}\leq z(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow x=y=z$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2=y^2=z^2=1\\ x,y,z>0\end{matrix}\right.\) hay $x=y=z=1$

Answer 2

[Thảo Phương]

Dạ, e cảm ơn nhiều. Bài giải đúng nhưng mà hệ vẫn còn một nghiệm là không nên do đó điều kiện \(x,y,z\ge0\) mới đúng ạ