Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) Đặt \(a=\sqrt{x-4},b=\sqrt{y-4}\)với \(a,b\ge0\)thì pt đã cho trở thành:
\(2\left(a^2+4\right)b+2\left(b^2+4\right)a=\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\). chia 2 vế cho \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\)thì pt trở thành :
\(\frac{2b}{b^2+4}+\frac{2a}{a^2+4}=1\). Để ý rằng a=0 hoặc b=0 không thỏa mãn pt.
Xét \(a,b>0\). Theo BĐT AM-GM ta có: \(b^2+4\ge2\sqrt{4b^2}=4b,a^2+4\ge4a\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2a}{4a}+\frac{2b}{4b}=1\), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2\Leftrightarrow x=y=8}\)
Vậy x=8,y=8 là nghiệm của pt
Câu 1: Đề bài sai, với điều kiện đề bài đã cho thì Q vẫn nguyên tại \(x=0\), đề bài đúng phải là \(\forall x>0\) thì Q không nguyên (ko hiểu sao lại có điều kiện \(x\ne4\) , cái này hoàn toàn ko ảnh hưởng gì tới bài toán)
\(A=Q^2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+4}\Leftrightarrow Ax+4A=x+4\sqrt{x}+4\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x-4\sqrt{x}+4A-4=0\)
\(\Delta'=4-\left(4A-4\right)\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow=-A^2+2A\ge0\Rightarrow0\le A\le2\Rightarrow A\le2\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2}< 2\)
Mặt khác ta có \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+\sqrt{4}>\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}>1\) \(\Rightarrow1< Q< 2\Rightarrow Q\) không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)
a/ \(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)+3\left(x+2\right)=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2+2x+3}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-8ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\3a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\\3\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+10=0\left(vn\right)\\4x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{8}\)
b/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge7\\-5\le x\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-5x-14\right)+4\left(x+5\right)-7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=a\ge0\\\sqrt{x+5}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-7ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(3a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\3a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{x+5}\\3\sqrt{x^2-5x-14}=4\sqrt{x+5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-19=0\\9x^2-61x-206=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)