Câu hỏi của Thầy Tùng Dương

Question

Giải các phương trình:

a) $3(x^2-x+1)^2-2(x+1)^2=5(x^3+1);$

b) $2(x^2+x+1)^2-7(x-1)^2=13(x^3-1)$.

Phạm Thành Đông · Accepted Answer

$3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5.$$\left(x^3+1\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$

Đặt $x+1=a,x^2-x+1=b$, phương trình trở thành:

$3b^2-2a^2=5ab$

$\Leftrightarrow3b^2-5ab-2a^2=0$

$\Leftrightarrow$$\left(3b+a\right)\left(b-2a\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[3\left(x^2-x+1\right)+x+1\right]\left[x^2-x+1-2\left(x+1\right)\right]=0$

$\Leftrightarrow\left(3x^2-2x+4\right)\left(x^2-3x-1\right)=0$

Vì $3x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+2x^2+3>0\forall x$nên:

$x^2-3x-1=0:\left(3x^2-2x+4\right)$

$\Leftrightarrow x^2-3x-1=0$

$\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}=0$

$\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{4}$

$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\x-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}}$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S=\left\{\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\right\}$

Câu trả lời:

$3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5.$$\left(x^3+1\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-x+1\right)^2-2\left(x+1\right)^2=5\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$

Đặt $x+1=a,x^2-x+1=b$, phương trình trở thành:

$3b^2-2a^2=5ab$

$\Leftrightarrow3b^2-5ab-2a^2=0$

$\Leftrightarrow$$\left(3b+a\right)\left(b-2a\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[3\left(x^2-x+1\right)+x+1\right]\left[x^2-x+1-2\left(x+1\right)\right]=0$

$\Leftrightarrow\left(3x^2-2x+4\right)\left(x^2-3x-1\right)=0$

Vì $3x^2-2x+4=\left(x-1\right)^2+2x^2+3>0\forall x$nên:

$x^2-3x-1=0:\left(3x^2-2x+4\right)$

$\Leftrightarrow x^2-3x-1=0$

$\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{13}{4}=0$

$\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{13}{4}$

$\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\x-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{cases}}}$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S=\left\{\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\right\}$

Phạm Thành Đông · Answer

$2\left(x^2+x+1\right)^2-7\left(x-1\right)^2=13$$\left(x^3-1\right)$

$\Leftrightarrow2\left(x^2+x+1\right)^2-7\left(x-1\right)^2=13\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$

Đặt $x-1=a,x^2+x+1=b$, phương trình trở thành:

$2b^2-7a^2=13ab$$x=4$

$\Leftrightarrow2b^2-13ab-7a^2=0$

$\Leftrightarrow\left(b-7a\right)\left(a+2b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[x^2+x+1-7\left(x-1\right)\right]\left[x-1+2\left(x^2+x+1\right)\right]=0$

$\Leftrightarrow\left(x^2-6x+8\right)\left(2x^2+3x+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(2x+1\right)\left(x+1\right)=0$

-Xét các trường hợp sau:

+Với $x-2=0\Leftrightarrow x=2$

+Với $x-4=0\Leftrightarrow x=4$

+Với $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

+Với $2x+1=0\Leftrightarrow x=-0,5$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $S=\left\{-1;-0,5;2;4\right\}$