Question

[ttt]

Giải các hệ phương trình sau:

\(a.\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=45\\\left(y+z\right)\left(x+y+z\right)=63\\\left(z+x\right)\left(x+y+z\right)=54\end{cases}}\)        \(b.\hept{\begin{cases}6\left(x+y\right)=5xy\\12\left(y+z\right)=7yz\\4\left(z+x\right)=3xz\end{cases}}\)      \(c.\hept{\begin{cases}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=z\\\frac{2z^2}{1+z^2}=x\end{cases}}\)

Answer 1

[Hoàng Như Quỳnh]

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=45\left(1\right)\\\left(y+z\right)\left(x+y+z\right)=63\left(2\right)\\\left(z+x\right)\left(x+y+z\right)=54\left(3\right)\end{cases}}\)

lấy (1)+(2)+(3) 

\(\left(x+y+z\right)\left(x+y+y+z+z+x\right)=162\)

\(\left(x+y+z\right)\left(2x+2y+2z\right)=162\)

\(\left(x+y+z\right)^2=81\)

\(x+y+z=9\)

thế vào pt (1)(2)(3) ta đc

\(\hept{\begin{cases}9\left(x+y\right)=45\\9\left(y+z\right)=63\\9\left(z+x\right)=54\end{cases}\hept{\begin{cases}x+y=5\\y+z=7\\z+x=6\end{cases}\hept{\begin{cases}x=5-y\left(4\right)\\z=7-y\left(5\right)\\z+x=6\left(6\right)\end{cases}}}}\)

thế(4);(5) vào (6)

\(5-y+7-y=6\)

\(y=3\)

\(x=5-3=2\)

\(z=7-3=4\)

thử lại lấy x+y+z \(3+2+4=9\left(TM\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Minh Quang]

góp ý nhỏ cho bài của bạn Như Quỳnh

Đoạn \(\left(x+y+z\right)^2=81\) ta phải có hai trường hợp là 

-9 và 9, trong cả hai trường hợp ta đều giải ra nghiệm thỏa mãn.

b. rõ ràng (0,0,0) là nghiệm của hệ

Xét x khác 0 dễ dàng ta chỉ ra được y và z khác 0

khi đó hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=5\\12\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=7\\4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}}\) vậy hệ có hia nghiệm (0,0,0) và (2,3,4)

\(c.\frac{2x^2}{1+x^2}.\frac{2y^2}{1+y^2}.\frac{2z^2}{1+z^2}=xyz\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xyz=0\\\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}=1\end{cases}}\)

\(xyz=0\Rightarrow x=y=z=0\) còn \(\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}=1\)

ta có \(1+x^2\ge2x\Leftrightarrow\frac{2x}{1+x^2}\le1\)

tương tự ta có : \(\frac{2x}{1+x^2}.\frac{2y}{1+y^2}.\frac{2z}{1+z^2}\le1\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z =1 

Vậy hệ có hai nghiệm (0,0,0) và (1,1,1)