Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Biến đổi vế trái ta có:
\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)*
Vì \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\)*\(=-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
cũng có \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\) Thay vào biểu thức trên ta được
\(-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=3abc\)
\(VT=VP\)=> đpcm
vì \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
ta có \(B=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)
mà \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\Rightarrow B=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)
Lời giải:
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
đặt \(am^3=bn^3=cp^3=k^3\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{k^3}{m^3};b=\dfrac{k^3}{n^3};c=\dfrac{k^3}{p^3}\)
VT=\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\dfrac{k}{m}+\dfrac{k}{n}+\dfrac{k}{p}=k\)
VF=\(\sqrt[3]{\dfrac{k^3}{m}+\dfrac{k^3}{n}+\dfrac{k^3}{p}}=\sqrt[3]{k^3}=k\)
do đó VT=VF, đẳng thức được chứng minh
\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)
\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
a) Ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-n-1}=-\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)
\(\Rightarrow A=...=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-...-\sqrt{48}+\sqrt{49}=-1+7=6\)
Đặt VP=A
có căn bâc 3 (am^2+bn^2+cp^2=căn bậc 3 (am^3/m+bn^3/n+cp^3/p)=căn bậc 3 (am^3(1/m+1/n+p)) (do am^3=bn^3=cp^3)
=căn bậc 3 (am^3) (do 1/m+1/n+1/p=1)=> m.căn bậc 3(a)=A=>căn bậc 3 (a)=A/m
tương tự căn bậc 3 (b)=A/n, căn bậc 3 (p)=A/p
Cộng theo vế => VT = A/m+A/n+A/p=A(1/m+1/n+1/p)=A=VP (do 1/m+1/n+1/p=1)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
Lười không muốn viết nên mình gợi ý thôi nhé 
Câu a) bạn áp dụng hằng dẳng thức \(a^3+b^3\) rồi rút gọn
Câu b) Quy đồng mẫu thức rồi rút gọn
Chúc bạn học tốt! 
a,
\(\left(\sqrt{2}+1\right)^3-\left(\sqrt{2}-\right)^3\)
\(=\left(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1\right)\left[\left(\sqrt{2}+1\right)^2+\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)^2\right]\)
\(=2\left(2+2\sqrt{2}+1+2-1+2-2\sqrt{2}+1\right)\)
\(=2.7=14\)
Min P em có thể tự tìm đơn giản bằng AM-GM
Min R cũng khá đơn giản:
Đặt \(\left(\sqrt[3]{a};\sqrt[3]{b};\sqrt[3]{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x^3+y^3+z^3=\dfrac{9}{8}\end{matrix}\right.\)
\(R=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}\ge\dfrac{9}{3+x+y+z}\ge\dfrac{9}{3+\sqrt[3]{9\left(x^3+y^3+z^3\right)}}=\dfrac{6}{2+\sqrt[3]{3}}\)
Xét \(Q=x+y+z\)
Do \(\left(x+y+z\right)^3\ge x^3+y^3+z^3=\dfrac{9}{8}\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}}>1\Rightarrow Q-1>0\)
\(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)^3-3\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)+3xyz\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{8}=Q^3-3Q\left(xy+yz+zx\right)+3xyz\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{8}=Q^3-3\left(Q-1\right)\left(xy+yz+zx\right)-3\left(xy+yz+zx-xyz\right)\)
Do \(0\le x;y;z\le1\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx-xyz\ge Q-1\) (1)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge xyz+Q-1\ge Q-1\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow\dfrac{9}{8}\le Q^3-3\left(Q-1\right)\left(Q-1\right)-3\left(Q-1\right)\)
\(\Rightarrow8Q^3-24Q^2+24Q-9\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2Q-3\right)\left(4Q^2-6Q+3\right)\ge0\)
Do \(4Q^2-6Q+3=4\left(Q-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0;\forall Q\)
\(\Rightarrow2Q-3\ge0\Rightarrow Q\ge\dfrac{3}{2}\)
\(Q_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;\dfrac{1}{2}\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;\dfrac{1}{8}\right)\) và hoán vị