Question

[Đỗ Yến Nhi]

Giải bài hình sau?

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH nên \(AH^2=BH.CH\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow CH=\frac{AH^2}{BH}=\frac{4,8^2}{3,6}=6,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=3,6+6,4=10\left(cm\right)\)

\(\Delta ACH\)vuông tại H nên \(\tan C=\frac{AH}{CH}=\frac{4,8}{6,4}=\frac{3}{4}\Rightarrow\widehat{C}\approx36^052'\)

b) Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A:

+) Tính góc B:

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\Rightarrow\widehat{B}=90^0-\widehat{C}=90^0-30^0=60^0\)

+) Tính AB:

Ta có \(AB=AC.\tan C=12.\tan30^0=12.\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

+) Tính BC:

Ta có \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\left(cm\right)\)

c) \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH nên \(AB^2=BH.BC\left(htl\right)\)

Xét \(\Delta ACD\)có B và I lần lượt là trung điểm của CD, AD nên BI là đường trung bình của \(\Delta ACD\)

\(\Rightarrow BI//AC\)(1)

Mặt khác \(\Delta ABC\)vuông tại A nên \(AB\perp AC\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow IB\perp AB\Rightarrow BK\perp AB\Rightarrow\Delta ABK\)vuông tại B

Xét \(\Delta ABK\)vuông tại B có đường cao BH nên \(AB^2=AH.AK\left(htl\right)\)

Mà \(AB^2=BH.BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AH.AK=BH.BC\left(đpcm\right)\)

d) Vì \(AB\perp BI\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta ABI\)vuông tại B

\(\Delta ABI\)vuông tại B có đường cao BE (vì \(BE\perp AI\)tại E) có đường cao AH nên \(\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BI^2}+\frac{1}{AB^2}\left(htl\right)\)(*)

Vì BI là đường trung bình của \(\Delta ACD\)(cmt) nên \(BI=\frac{AC}{2}\Rightarrow BI^2=\frac{AC^2}{4}\Rightarrow\frac{1}{BI^2}=\frac{4}{AC^2}\)(3)

Mặt khác \(\Delta ABC\)vuông tại A nên \(\sin C=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\sin30^0=\frac{1}{2}\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{4}{BC^2}\)(4)

Thay (3) và (4) vào (*), ta có:

\(\frac{1}{BE^2}=\frac{4}{AC^2}+\frac{4}{BC^2}\)(đpcm)