Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)
\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)
2.
a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) Lần trước mk giải rồi nhá
3.
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)
b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)
\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Đề được sửa lại là: Cho \(x;y;z>0\) sao cho xyz = 1
cm: \(\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{y^2+x+z}+\dfrac{1}{z^2+x+y}\le\dfrac{3}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:\(\left(x^2+y+z\right)\left(1+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+y+z}\le\dfrac{1+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\) (1)
bn tự chứng minh các BĐT tương tự (1) rồi cộng vế theo vế ta có:
VT= \(\dfrac{1}{x^2+y+z}+\dfrac{1}{y^2+x+z}+\dfrac{1}{z^2+x+y}\le\dfrac{3+2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Bài toán cm hoàn tất khi \(\dfrac{3+2\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\le\dfrac{3}{\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow3+2\left(x+y+z\right)\le3\left(x+y+z\right)\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT cauchy cho x;y;z>0 ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3.\sqrt[3]{1}=3\)
Ta có đpcm
\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge\dfrac{2x}{z}\); \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\); \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)
Cộng ba vế bđt sau đó chia 2 ta được đpcm
:3 Câu hỏi của NGUYEN THI DIEP - Toán lớp 9 | Học trực tuyến