Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
\(\Delta=\left(2-m\right)^2-4.\left(-3\right)=\left(m-2\right)^2+12\ge0\) luôn đúng
Do đó pt luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) với mọi m
Ta có : \(\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x_1^2+2018-2\sqrt{\left(x_1^2+2018\right)\left(x_2^2+2018\right)}+x_2^2+2018=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2018-\sqrt{\left(x_1x_2\right)^2+2018\left(x_1+x_2\right)^2-4036x_1x_2+2018^2}=x_1x_2\) (*)
Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-3\end{cases}}\)
(*) \(\Leftrightarrow\)\(2018-\sqrt{\left(-3\right)^2+2018\left(m-2\right)^2-4036.\left(-3\right)+2018^2}=-3\)
\(\Leftrightarrow\)\(9+2018\left(m-2\right)^2+12108+2018^2=2021^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2018\left(m-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(m=2\)
Vậy với m=2 thì hai nghiệm pt thoả mãn \(\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2\)
b/ \(A=\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2x_1^2x_2^2+2x_1x_2\)
\(=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2+2x_1x_2\)
\(=\left[\left(2m+2\right)^2-2\left(m+1\right)\right]^2-2\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\)
\(=\left[4\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)\right]^2-2\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\)
\(=\left[\left(m+1\right)\left(4m+4-2\right)\right]^2-2\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\)
\(=\left(m+1\right)^2\left(4m+2\right)^2-2\left(m+1\right)^2+2\left(m+1\right)\)
Đặt m+1=a
\(\Rightarrow a^2\left(4a-2\right)^2-2a^2+2a=A\)
Thui đến đây tắc lun=.=! Bạn tự giải nốt nha:))
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m-1=m^2+2m+1-m-1=m^2+m\)
Để phương trình có 2 no:
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
Theo Vi-ét có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
Có \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{m+1}=4\)
Đặt \(\sqrt{m+1}=a\ge0\Rightarrow m+1=a^2\)
\(\Rightarrow2a^2+2a-4=0\)
\(\Leftrightarrow a=1\)
Thay trở lại có \(\sqrt{m+1}=1\Rightarrow m=0\) (thoả mãn)