Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi 2 ps đó là a/b và c/d (ƯCLN (a,b) = 1; ƯCLN (c;d) = 1)
Ta có;
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=m\) (m thuộc Z)
=> \(\frac{ad+bc}{bd}=m\)
=> ad + bc = mbd (10
Từ (1) => ad + bc chia hết cho b
Mà bc chia hết cho b
=> ad chia hết cho b
Mà (a,b) = 1
=> d chia hết cho b (2)
Từ (1) => ad + bc chia hết cho d
Mà ad chia hết cho d
=> bc chia hết cho d
Mà (c,d) = 1
=> b chia hết cho d (3)
Từ (2) và (3) =>bh = d hoặc b = -d (đpcm)
Vì a,b,c là các số nguyên và a2 + b2 + c2 chia hết cho 4
Nên \(\hept{\begin{cases}a^2⋮4\\b^2⋮4\\c^2⋮4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a⋮4\\b⋮4\\c⋮4\end{cases}}\)
Vì a,b,c đều đồng thơi chia hết cho 4
mặt khác , 4 chia hết cho 2
=> a , b , c đồng thời chia hết cho 2
Bài 1) +Với n = 2, ta có 22 + 22 = 4 + 4 = 8, là hợp số, loại
+Với n = 3, ta có 23 + 32 = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn
+Với n > 3, do n nguyên tố nên n lẻ => n = 2k+1 ( k thuộc N*)
=> 2n = 22k+1 = 22k . 2 = (2k)2 . 2, do 2 không chia hết cho 3 => 2k không chia hết cho => (2k)2 không chia hết cho 3
Mà (2k)2 là số chính phương nên (2k)2 chia 3 dư 1 => (2k)2 . 2 chia 3 dư 2.
Mặt khác n2 không chia hết cho 3 do n nguyên tố > 3 nên n2 chia 3 dư 1 => 2n + n2 chia hết cho 3
Mà 1 < 3 < 2n + n2 nên 2n + n2 là hợp số, loại
Vậy n = 3
Bài 2) Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p không chia hết cho 3 => p2 không chia hết cho 3. Mà p2 là số chính phương nên p2 chia 3 dư 1 => p2 - 1 chia hết cho 3 (1)
Do p nguyên tố không nhỏ hơn 5 nên p lẻ => p2 lẻ => p2 chia 8 dư 1 => p2 - 1 chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2), do (3,8)=1 nên p2 - 1 chia hết cho 8
Chứng tỏ p2 - 1 chia hết cho 8 với p nguyên tố không nhỏ hơn 5
\(P=n^3+4n^2-20n-48=\left(n+2\right)\left(n-4\right)\left(n+6\right)\)
Với \(n=4\Rightarrow P=0⋮125\)(thỏa)
Với \(n< 4\)thử từng giá trị đều không thỏa.
Vậy số \(n\)nhỏ nhất cần tìm là \(4\).
\(n^3+4n^2-20n-48\)
\(=n^3-4n^2+8n^2-32n+12n-48\)
\(=\left(n^3-4n^2\right)+\left(8n^2-32n\right)+\left(12n-48\right)\)
\(=n^2\left(n-4\right)+8n\left(n-4\right)+12\left(n-4\right)\)
\(=\left(n-4\right)\left(n^2+8n+12\right)\)
Nhận thấy n = 4 thì biểu thức trên bằng 0, chia hết cho 125.
Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất là bằng 4 (thử với n = 1, 2, 3 đều không chia hết cho 125)
Câu hỏi của Đình Hiếu - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có \(3n^3-1011⋮1008\)
\(\Leftrightarrow\left(3n^3-3\right)-1008⋮1008\)
\(\Leftrightarrow3\left(n^3-1\right)⋮1008\)
\(\Leftrightarrow n^3-1⋮336\)\(⋮48\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮48\).
Do \(n^2+n+1\) là số lẻ với mọi \(n\inℤ\) nên suy ra được \(n-1⋮48\), đpcm.
Giả sử n là số chẵn ta có: 3n3 là số chẵn ⇒ 3n3 - 1011 là số lẻ
⇒ 3n3 - 1011 không chia hết cho 1008 vậy điều giả sử là sai
⇒ n là số lẻ. Mặt khác ta cũng có:
3n3 - 1011 ⋮ 1008 ⇔ 3n3 - 3 -1008 ⋮ 1008 ⇔ 3n3 - 3 ⋮ 1008
⇔3(n3-1)⋮ 1008⇔ n3 - 1⋮ 336 ⇔ n3 - 1⋮ 48 ⇔(n-1)(n2+n+1)⋮48(1)
vì n là số lẻ (chứng minh trên) nên ta có: n2 + n + 1 là số lẻ
⇔ n2 + n + 1 không chia hết cho 48 (2)
Kết hợp(1) và (2) ta có: n - 1 ⋮ 48 (đpcm)