NV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 9 2018
EZ game
Xét x=y=0
Xét x và y khác 0
Cộng từng vế hai phương trình
Đánh giá VP >= VT
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 10 2019
Đặt \(\sqrt[3]{2}=z\)
\(P=\left(\frac{2xyz}{x^2y^2-z^2}+\frac{xy-z}{2\left(xy+z\right)}\right).\frac{2xy}{xy+z}-\frac{xy}{xy-z}\)
\(=\left(\frac{4xyz}{2\left(xy-z\right)\left(xy+z\right)}+\frac{\left(xy-z\right)^2}{2\left(xy-z\right)\left(xy+z\right)}\right).\frac{2xy}{xy+z}-\frac{xy}{xy-z}\)
\(=\frac{\left(xy+z\right)^2}{2\left(xy-z\right)\left(xy+z\right)}.\frac{2xy}{\left(xy+z\right)}-\frac{xy}{xy-z}\)
\(=\frac{xy}{xy-z}-\frac{xy}{xy-z}=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
a/ Bạn coi lại đề, \(2\sqrt[3]{2xy}\) hay \(2\sqrt[3]{2}.xy\)
Như đề bạn ghi thì ko rút gọn được
b/ Xét \(\frac{x}{x^4+4}=\frac{x}{x^4+4x^2+4-\left(2x\right)^2}=\frac{x}{\left(x^2+2\right)^2-\left(2x\right)^2}\)
\(=\frac{x}{\left(x^2+2-2x\right)\left(x^2+2+2x\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2+2-2x}-\frac{1}{x^2+2+2x}\right)\)
Thay \(x=2n-1\) ta được:
\(\frac{2n-1}{4+\left(2n-1\right)^4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(2n-1\right)^2-2\left(2n-1\right)+2}-\frac{1}{\left(2n-1\right)^2+2\left(2n-1\right)+2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4\left(1-1\right)^2+1}-\frac{1}{4.1^2+1}+\frac{1}{4.1^2+1}-\frac{1}{4.2^2+1}+...+\frac{1}{4\left(n-1\right)^2+1}-\frac{1}{4n^2+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4n^2+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{4n^2}{4n^2+1}\right)=\frac{n^2}{4n^2+1}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 10 2020
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le\frac{1}{2}\\0\le y\le\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Từ pt đầu: \(\Leftrightarrow\frac{4}{1+2xy}=\left(\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}}\right)^2\le2\left(\frac{1}{1+2x^2}+\frac{1}{1+2y^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{1+2xy}\le\frac{1}{1+2x^2}+\frac{1}{1+2y^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+2x^2}+\frac{1}{1+2y^2}-\frac{2}{1+2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(2xy-1\right)\left(x-y\right)^2}{\left(1+2x^2\right)\left(1+2y^2\right)\left(1+2xy\right)}\ge0\) (2)
Do \(xy\le\frac{1}{4}< \frac{1}{2}\Rightarrow2xy-1< 0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Thế vào pt dưới:
\(2\sqrt{x\left(1-2x\right)}=\frac{2}{9}\Leftrightarrow x\left(1-2x\right)=\frac{1}{81}\Leftrightarrow...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 5 2019
Ta chứng minh BĐT này trước:
Với \(a;b>0\) và \(ab< 1\) thì \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{2}{1+ab}\)
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\le\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab\le2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow a^3b-2a^2b^2+ab^3-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\le0\) (1)
Do \(ab< 1\Rightarrow ab-1< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng, vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Áp dụng vào bài toán:
Từ pt dưới ta có ĐKXĐ: \(0\le x;y\le\frac{1}{2}\Rightarrow xy< 1\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sqrt{2}x\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sqrt{2}y\right)^2}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+\left(\sqrt{2}x\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\sqrt{2}y\right)^2}\right)}\le\sqrt{2\left(\frac{2}{1+\sqrt{2}x.\sqrt{2}y}\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y\)
Thay vào pt dưới:
\(\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-2x}=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-2x}=\frac{3\sqrt{2}+1}{6}\)
Nhìn con số bên vế phải ngán quá, chắc người ra đề nhầm lẫn gì ở đây nên cho 1 con số xấu như vậy, rất tiếc pt này ko thể đánh giá bằng BĐT nên phải giải theo kiểu bình phương thôi 2 vế, bạn tự giải tiếp, chỉ đơn giản là 1 pt bậc 2 với hệ số rất rất xấu :D